Esercizi su definizione e proprietà dei numeri complessi

Gli esercizi che vi proponiamo in questa pagina servono per prendere confidenza con i tanti concetti visti nella lezione introduttiva sui numeri complessi.

 

Vedremo in particolare una serie di esercizi sul calcolo della parte reale e della parte immaginaria, sulla rappresentazione nel piano complesso e sul calcolo di opposto, inverso e coniugato di un numero complesso z\in \mathbb{C}.

 

Esercizi su parte reale e parte immaginaria di un numero complesso

 

Trovare la parte reale e la parte immaginaria dei seguenti numeri complessi e ricavare la loro rappresentazione grafica del piano di Argand-Gauss.

 

I) z=-2-3i

 

II) z=2+3i-4i+7

 

III) z=(2+i)^2

 

IV) z=(3+2i)i

 

V) z=i^3(4+5i)

 

 

Svolgimento e soluzioni

 

Indicando con Re(z) la parte reale e con Im(z) la parte immaginaria, abbiamo:

 

I) Senza alcun calcolo si vede subito che Re(z)=-2, \ Im(z)=-3 e dunque il numero complesso si rappresenta nel piano di Argand-Gauss come il punto di coordinate (-2,-3).

 

II) Dopo aver sommato i termini simili otteniamo

 

z=9-i

 

Di conseguenza Re(z)=9, \ Im(z)=-1 e il punto si rappresenta mediante le coordinate (9,-1)

 

III) Anche se esiste una formula ben precisa per il calcolo della potenza di un numero complesso, per il momento possiamo limitarci a sviluppare il quadrato del binomio. Si ha

 

z=(2+i)^2=4+4i+i^2=4+4i-1=3+4i

 

Da qui deduciamo che Re(z)=3, \ Im(z)=4 e dunque il punto si rappresenta mediante le coordinate (3,4).

 

IV) Sviluppiamo il prodotto e applichiamo la definizione di unità immaginaria

 

z=(3+2i)i = 3i+2i^2=3i-2 \to Re(z)=-2, \ Im(z)=3

 

Il numero complesso nel piano di Argand-Gauss ha quindi coordinate (-2,3).

 

V) Sviluppando il prodotto e ricordando come si calcolano le potenze dell'unità immaginaria si ha

 

z=i^3(4+5i)=4i^3+5i^4 = -4i+5

 

Possiamo allora concludere che parte reale e parte immaginaria del numero complesso dato sono Re(z)=5, \ Im(z)=-4 e che la rappresentazione è data dal punto di coordinate (5,-4).

 

Esercizi su opposto, inverso e coniugato di un numero complesso

 

Per ogni numero complesso dato come coppia ordinata di numeri reali determinarne l'opposto, il coniugato e l'inverso moltiplicativo.

 

I) z=(-1,-3)

 

II) z=\left(\frac{1}{2},-1\right)

 

III) z=\left(\frac{1}{5}, \frac{1}{3}\right)

 

IV) z=(-\pi, \pi)

 

V) z=\left(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}\right)

 

VI) z=\left(1+\sqrt{5}, 1-\sqrt{5}\right)

 

VII) z=(\sqrt{3}, \sqrt{7})

 

VIII) z=\left(\sqrt{5}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

 

IX) z=\left(\log_2 (8), -\log_3(9)\right)

 

X) z=(-e^2, e^2)

 

 

Svolgimento e soluzioni

 

Ricordiamo che per ogni numero complesso z=(a,b)\in \mathbb{C}:

 

- l'opposto -z è dato da

 

-z=(-a,-b)

 

- il complesso coniugato è

 

\overline{z}=(a,-b)

 

- l'inverso moltiplicativo z^{-1} si ottiene come

 

z^{-1}=\left(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right)

 

Ci limiteremo ora a fornirvi le soluzioni e, dove necessario, vi daremo qualche utile suggerimento.

 

I) -z=(1,3); \ \overline{z}=(-1,3); \ z^{-1}=\left(-\frac{1}{10}, \frac{3}{10}\right)

 

II) -z=\left(-\frac{1}{2},1\right); \ \overline{z}=\left(\frac{1}{2},1\right); \ z^{-1}=\left(\frac{2}{5},\frac{4}{5}\right)

 

Suggerimento: ricordare come si calcola la frazione di una frazione.

 

III) -z=\left(-\frac{1}{5}, -\frac{1}{3}\right); \ \overline{z}=\left(\frac{1}{5},-\frac{1}{3}\right); \ z^{-1}=\left(\frac{45}{34},-\frac{75}{34}\right)

 

IV) -z=(\pi, -\pi); \ \overline{z}=(-\pi,-\pi); \ z^{-1}=\left(-\frac{1}{2\pi}, -\frac{1}{2\pi}\right)

 

V) -z=\left(\sqrt{3}, \sqrt{3}\right); \ \overline{z}=\left(-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right); \ z^{-1}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right)

 

VI) -z=\left(-1-\sqrt{5}, -1+\sqrt{5}\right)

 

\overline{z}=\left(1+\sqrt{5}, -1+\sqrt{5}\right) \\ \\  \ z^{-1}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{12}, \frac{-1+\sqrt{5}}{12}\right)

 

VII) -z=(-\sqrt{3}, -\sqrt{7}); \ \overline{z}=(\sqrt{3},-\sqrt{7}); \ z^{-1}=\left(\frac{\sqrt{3}}{10}, -\frac{\sqrt{7}}{10}\right)

 

VIII) -z=\left(-\sqrt{5}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right); \ \overline{z}=\left(\sqrt{5}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), \ z^{-1}=\left(\frac{2\sqrt{5}}{11}, \frac{\sqrt{2}}{11}\right)

 

IX) Per definizione di logaritmo \log_2(8)=3\mbox{ e }-\log_3(9)=-2. Pertanto

 

z=\left(\log_2 (8), -\log_3 (9)\right)=(3,-2)

 

Di conseguenza

 

-z=(-3,2); \ \overline{z}=(3,2); \ z^{-1}=\left(\frac{3}{13}, \frac{2}{13}\right)

 

X) -z=(e^2, -e^2); \ \overline{z}=(-e^2, -e^2); \ z^{-1}=\left(-\frac{1}{2e^2}, -\frac{1}{2e^2}\right)

 

Vero o falso sui numeri complessi

 

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la tua risposta.

 

I) Il numero complesso z=1+i è immaginario puro.

 

II) L'insieme dei numeri complessi è contenuto nell'insieme dei numeri reali.

 

III) 2+2i > 2+3i.

 

IV) Nel piano complesso l'opposto di z\in \mathbb{C} è il suo simmetrico rispetto all'origine degli assi.

 

V) Il complesso coniugato \overline{z} di un numero complesso z \in \mathbb{C} è il punto simmetrico di z rispetto all'asse delle y.

 

VI) L'unità immaginaria i=(0,1) è l'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione tra numeri complessi.

 

VII) La moltiplicazione tra numeri complessi è definita come: (a,b)(c,d)=(ac, bd).

 

VIII) L'insieme dei numeri complessi, a differenza dell'insieme dei numeri reali, non è un insieme ordinato.

 

IX) \sqrt{-2}=2i

 

X) Due numeri complessi si dicono uguali se hanno stessa parte immaginaria.

 

 

Soluzioni

 

I) Falso. I numeri complesso immaginari puri sono della forma z=ib, \mbox{ con } b\in \mathbb{R}.

 

II) Falso. È infatti l'insieme dei numeri reali ad essere un sottoinsieme proprio dell'insieme dei numeri complessi.

 

III) Falso. In \mathbb{C} non è definita una relazione d'ordine quindi non è possibile confrontare due numeri complessi.

 

IV) Vero.

 

V) Falso. Il complesso coniugato di z è il punto simmetrico di z rispetto all'asse delle ascisse.

 

VI) Falso. È (1,0) l'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione tra numeri complessi e non l'unità immaginaria.

 

VII) Falso. Infatti (a,b)(c,d)=(ac-bd, ad+bc).

 

VIII) Vero.

 

IX) Falso. \sqrt{-2}=\pm\sqrt{2}i

 

X) Falso. Due numeri complessi sono uguali se hanno stessa parte immaginaria e stessa parte reale.

 

 


 

Se avete svolto correttamente tutti gli esercizi proposti in questa scheda allora avete delle basi solide su cui proseguire con lo studio dei numeri complessi. In caso contrario vi suggeriamo di dare un ulteriore sguardo alla lezione correlata. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata

 
 

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