Esercizi sui polinomi in campo complesso

In questa pagina vi proponiamo una breve raccolta di esercizi sui polinomi in campo complesso. Niente di particolarmente approfondito: si tratta semplicemente di una selezione di esercizi svolti sui polinomi a coefficienti complessi e, in parte, relativi ai risultati teorici trattati nella lezione sul teorema fondamentale dell'Algebra.

 

La scheda si rivolge agli studenti delle scuole superiori e agli universitari che affrontano i numeri complessi nei corsi di Analisi Matematica. Per intenderci, questi esercizi hanno lo scopo di dare un'infarinatura sulle richieste più frequenti negli esercizi delle verifiche e degli esami universitari. In buona sostanza non è una scheda all'altezza di chi sta affrontando corsi avanzati di Analisi Complessa all'università. ;)

 

Naturalmente prima di cimentarsi è bene conoscere, oltre al suddetto teorema, la teoria relativa ai polinomi a coefficienti reali. Se siete in cerca di altri esercizi sui numeri complessi vi rimandiamo alla pagina della sezione dedicata, e nel caso non bastassero vi raccomandiamo un sapiente uso della barra di ricerca interna. :)

 

Esercizi risolti sui polinomi in campo complesso

 

I) Dato un polinomio di grado 4 a coefficienti reali, quante radici reali può avere se le radici complesse sono 2? Quali sono le restanti 2 se le due radici sono 2i+3 e -3i?

 

II) Scomporre il seguente polinomio in fattori reali irriducibili sapendo che z=-i+1 è una radice.

 

P(z)=z^4+4z^3+8z^2+8z+4

 

III) Se z_1=7\mbox{ e }z_2=7+i sono radici del polinomio

 

P(z)=z^{4}-21z^{3}+148z^{2}-350z

 

allora quale delle seguenti affermazioni è vera?

 

A)\ z_1 è una radice doppia;

 

B)\ z_2\mbox{ e }z_1 sono semplici.

 

IV) Considerando z=1 come soluzione dell'equazione, calcolare le altre 4 radici complesse dell'equazione e rappresentarle nel piano complesso:

 

z^5-z^4+3z-3=0

 

V) Sapendo che z_0= -i è una radice del seguente polinomio, determinare le altre radici e scriverle in forma algebrica.

 

P(z)= z^3+iz^2+(12i-5)z-12-5i

 

VI) Determinare il polinomio di grado minimo a coefficienti reali che ammette come radici complesse 2-i\mbox{ e }1+2i.

 

VII) Determinare un polinomio P(x) a coefficienti reali che soddisfi P(i+1)=P(2)=0.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Radici reali di un polinomio complesso di quarto grado

 

II) Scomposizione di un polinomio complesso conoscendo una radice

 

III) Trovare le radici di un polinomio di quarto grado conoscendone 2

 

IV) Calcolare le radici di un polinomio complesso conoscendone una

 

V) Calcolare le radici di un polinomio in campo complesso conoscendone una

 

VI) Polinomio di grado minimo con due radici complesse

 

VII) Polinomio a coefficienti reali dalle radici complesse

 

 

Lezione correlata

 
 

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