Esercizi su modulo e argomento dei numeri complessi

Eccoci a una scheda di esercizi svolti su modulo e argomento dei numeri complessi: tutti gli esercizi che seguono rappresentano una piccola selezione degli esercizi su modulo e argomento presenti su YM.

 

Prima di procedere è importante ricordare tutte le formule per modulo e argomento, e in particolare le formule per determinare l'anomalia di un numero complesso a seconda che si scelga di lavorare nell'intervallo (-\pi,\pi] oppure nell'intervallo [0,2\pi).

 

Nel caso gli esercizi non bastassero sappiate che ne potete trovare molti altri con la barra di ricerca interna; qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio.

 
 
 

Esercizi risolti su modulo e argomento dei numeri complessi

 

Nei seguenti esercizi è richiesto di calcolare modulo e argomento dei numeri complessi coinvolti, e in ogni caso di saper lavorare con le formule per il calcolo del modulo e dell'argomento (o anomalia).

 

Nota bene: alcuni degli esercizi richiedono di saper svolgere le operazioni tra numeri complessi. Se volete mettervi alla prova con esercizi di calcolo più semplici vi suggeriamo di consultare le schede di:

 

- esercizi sul passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica e viceversa;

 

- esercizi sul passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale e viceversa;

 

I) Calcolare i moduli e gli argomenti, sia riferiti all'intervallo (-\pi, \pi] che all'intervallo [0,2\pi) dei numeri complessi

 

(a) \ z_1=2 \ \ \ ; \ \ \ (b) \ z_2=3i \ \ \ ; \ \ \ (c) \ z_3=-\sqrt{3} \ \ \ ; \ \ \ (d) \ z_4=-5i \ \ \ ; \ \ \  (e) \ z_5=0

 

II) Calcolare l'argomento dei seguenti numeri complessi:

 

z=-1-i\sqrt{3}\ \ \ ;\ \ \ z=-4i

 

III) Calcolare l'argomento del numero complesso z=1-i

 

IV) Calcolare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi ed esprimerli in forma esponenziale:

 

z_1=5-2i\ \ \ ;\ \ \ z_2=4+i

 

Determinare inoltre il prodotto z_1\cdot z_2 e il rapporto \frac{z_1}{z_2} ed esprimerli in forma esponenziale.

 

V) Sia z il numero complesso

 

z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}

 

Determinare il modulo e l'argomento riferito sia all'intervallo [0,2\pi) che a (-\pi, \pi] di z e del suo coniugato \bar{z}.

 

VI) Calcolare il modulo e l'argomento, riferito all'intervallo (-\pi,\pi], del numero complesso

 

z=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}}

 

VII) Dati i due numeri complessi

 

\\ z_1=\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)-i\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right) \\ \\ \\ z_2=\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)

 

(a) dire se sono espressi in forma trigonometrica, ossia nella forma

 

z=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta)) \ \ \mbox{con} \ r\ge0, \ \theta\in(-\pi, \pi]

 

e calcolare il loro modulo e il loro argomento;

 

(b) determinare modulo e argomento del numero complesso z_1\cdot z_2.

 

VIII) Dati i numeri complessi

 

z_1=5e^{-\frac{\pi}{4}i} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ z_2=-10e^{\frac{3}{4}\pi}

 

(a) z_1 \ \mbox{e} \ z_2 sono espressi nella forma

 

z=\rho e^{i\theta} \ \ \ \mbox{con} \ \rho\ge0\wedge\theta\in[0,2\pi) \ ?

 

Determinare modulo e argomento di z_1 \ \mbox{e} \ z_2.

 

(b) Calcolare il modulo e l'argomento, riferito all'intervallo [0,2\pi), dei numeri complessi

 

z_1\cdot z_2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \frac{z_1}{z_2}

 

IX) Determinare il modulo e l'argomento, riferito all'intervallo [0, 2\pi) del numero complesso

 

z=\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{2}i\right)^{10}

 

X) Calcolare il modulo e l'argomento del seguente numero complesso z dato da

 

\frac{(2i)^2}{(\sqrt{3}-i)^2}

 

XI) Calcolare modulo e argomento del seguente numero complesso

 

z= (1-i)^3 (3-\sqrt{3} i)^2

 

XII) Trovare modulo e argomento del numero complesso

 

z=\frac{1+i}{(i+\sqrt{3})^2}

 

XIII) Ricavare delle formule per modulo e argomento del rapporto di due numeri complessi.

 

XIV) Si trovino tutti i numeri complessi di modulo 2 tali che la parte reale e quella immaginaria siano uguali.

 

XV) Determinare il modulo e l'argomento, riferito all'intervallo (-\pi,\pi], del numero complesso

 

z=\frac{(5+5i)\cdot \sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4} i}}{\sqrt{3}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)}

 

XVI) Calcolare modulo e argomento del seguente numero complesso:

 

\frac{3\overline{(\sqrt{2}-i\sqrt{2})^5} (-\sqrt{3}-i)^3}{-5 i|2\sqrt{3}-2i|^2}

 

XVII) Determinare la forma algebrica del numero complesso con modulo e argomento rispettivamente dati da

 

|z|=\sqrt{2-\sqrt{2}}\ \ \ ;\ \ \ \mbox{arg}(z)=\frac{19}{8}\pi

 

XVIII) Calcolare modulo e argomento del numero complesso

 

e^{5-3i}

 

XIX) Calcolare i moduli e gli argomenti, riferiti all'intervallo (-\pi,\pi], dei numeri complessi

 

z=\sqrt{1+i}

 

senza calcolare esplicitamente le radici del numero complesso 1+i.

 

XX) Calcolare il modulo e l'argomento del numero complesso

 

z_n=i^n \ \ \ \mbox{con} \ n\in\mathbb{N}

 

XXI) Calcolare al variare del parametro reale a il modulo e l'argomento, riferito all'intervallo (-\pi, \pi], del numero complesso

 

z=a+(a+1)i

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio su modulo e argomento di alcuni numeri complessi

 

II) Esercizio su calcolo di modulo e argomento di due numeri complessi

 

III) Calcolare l'argomento del numero complesso 1-i

 

IV) Esercizio: calcolare modulo e argomento di due numeri complessi, del loro prodotto e del loro rapporto

 

V) Esercizio su modulo e argomento di un numero complesso in forma algebrica

 

VI) Esercizio su modulo e argomento di un numero complesso fratto

 

VII) Esercizio su modulo e argomento del prodotto di due numeri complessi

 

VIII) Esercizio su modulo e argomento del prodotto e del rapporto

 

IX) Esercizio su modulo e argomento della potenza di un numero complesso

 

X) Determinare argomento e modulo di un rapporto di potenze di numeri complessi

 

XI) Esercizio su modulo e argomento di un numero complesso che è il prodotto di due potenze

 

XII) Esercizio sul calcolo di modulo e argomento di un numero complesso fratto

 

XIII) Esercizio teorico su modulo e argomento di numeri complessi

 

XIV) Esercizio: trovare tutti i numeri complessi con modulo assegnato e condizione su parte reale e immaginaria

 

XV) Modulo e argomento di una espressione di numeri complessi

 

XVI) Esercizio su modulo e argomento di un numero complesso fratto

 

XVII) Esercizio su forma algebrica da modulo e argomento

 

XVIII) Modulo e argomento di un numero complesso esponenziale

 

XIX) Modulo e argomento della radice di un numero complesso

 

XX) Modulo e argomento delle potenze dell'unità immaginaria

 

XXI) Modulo e argomento di un numero complesso con parametro

 

 

Lezione correlata


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