Esercizi su modulo e argomento dei numeri complessi

Eccoci a una scheda di esercizi svolti su modulo e argomento dei numeri complessi: tutti gli esercizi che seguono rappresentano una piccola selezione degli esercizi su modulo e argomento presenti su YM.

Prima di procedere è importante ricordare tutte le formule per modulo e argomento, e in particolare le formule per determinare l'anomalia di un numero complesso a seconda che si scelga di lavorare nell'intervallo (−π,π] oppure nell'intervallo [0,2π).

Nel caso gli esercizi non bastassero sappiate che ne potete trovare molti altri con la barra di ricerca interna; qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio.

Esercizi risolti su modulo e argomento dei numeri complessi

Nei seguenti esercizi è richiesto di calcolare modulo e argomento dei numeri complessi coinvolti, e in ogni caso di saper lavorare con le formule per il calcolo del modulo e dell'argomento (o anomalia).

Nota bene: alcuni degli esercizi richiedono di saper svolgere le operazioni tra numeri complessi. Se volete mettervi alla prova con esercizi di calcolo più semplici vi suggeriamo di consultare le schede di:

- esercizi sul passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica e viceversa;

- esercizi sul passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale e viceversa;

I) Calcolare i moduli e gli argomenti, sia riferiti all'intervallo (−π, π] che all'intervallo [0,2π) dei numeri complessi

(a) z_1 = 2 ; (b) z_2 = 3i ; (c) z_3 = −√(3) ; (d) z_4 = −5i ; (e) z_5 = 0

II) Calcolare l'argomento dei seguenti numeri complessi:

z = −1−i√(3) ; z = −4i

III) Calcolare l'argomento del numero complesso z = 1−i

IV) Calcolare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi ed esprimerli in forma esponenziale:

z_1 = 5−2i ; z_2 = 4+i

Determinare inoltre il prodotto z_1·z_2 e il rapporto (z_1)/(z_2) ed esprimerli in forma esponenziale.

V) Sia z il numero complesso

z = (√(2))/(2)+i(√(2))/(2)

Determinare il modulo e l'argomento riferito sia all'intervallo [0,2π) che a (−π, π] di z e del suo coniugato barz.

VI) Calcolare il modulo e l'argomento, riferito all'intervallo (−π,π], del numero complesso

z = ((1)/(√(2))+(i)/(√(2)))/((√(3))/(2)−(i)/(2))

VII) Dati i due numeri complessi

z_1 = √(2)(cos((3π)/(8))−isin((3π)/(8))) ; z_2 = √(2)(cos((π)/(4))−isin((π)/(4)))

(a) dire se sono espressi in forma trigonometrica, ossia nella forma

z = r(cos(θ)+isin(θ)) con r ≥ 0, θ∈(−π, π]

e calcolare il loro modulo e il loro argomento;

(b) determinare modulo e argomento del numero complesso z_1·z_2.

VIII) Dati i numeri complessi

z_1 = 5e^(−(π)/(4)i) e z_2 = −10e^((3)/(4)π)

(a) z_1 e z_2 sono espressi nella forma

z = ρ e^(iθ) con ρ ≥ 0 ∧ θ∈[0,2π) ?

Determinare modulo e argomento di z_1 e z_2.

(b) Calcolare il modulo e l'argomento, riferito all'intervallo [0,2π), dei numeri complessi

z_1·z_2 e (z_1)/(z_2)

IX) Determinare il modulo e l'argomento, riferito all'intervallo [0, 2π) del numero complesso

z = ((5√(3))/(2)+(5)/(2)i)^(10)

X) Calcolare il modulo e l'argomento del seguente numero complesso z dato da

((2i)^2)/((√(3)−i)^2)

XI) Calcolare modulo e argomento del seguente numero complesso

z = (1−i)^3 (3−√(3) i)^2

XII) Trovare modulo e argomento del numero complesso

z = (1+i)/((i+√(3))^2)

XIII) Ricavare delle formule per modulo e argomento del rapporto di due numeri complessi.

XIV) Si trovino tutti i numeri complessi di modulo 2 tali che la parte reale e quella immaginaria siano uguali.

XV) Determinare il modulo e l'argomento, riferito all'intervallo (−π,π], del numero complesso

z = ((5+5i)·√(2)e^((π)/(4) i))/(√(3)(cos((π)/(3))+isin((π)/(3))))

XVI) Calcolare modulo e argomento del seguente numero complesso:

(3(√(2)−i√(2))^5 (−√(3)−i)^3)/(−5 i|2√(3)−2i|^2)

XVII) Determinare la forma algebrica del numero complesso con modulo e argomento rispettivamente dati da

|z| = √(2−√(2)) ; arg(z) = (19)/(8)π

XVIII) Calcolare modulo e argomento del numero complesso

e^(5−3i)

XIX) Calcolare i moduli e gli argomenti, riferiti all'intervallo (−π,π], dei numeri complessi

z = √(1+i)

senza calcolare esplicitamente le radici del numero complesso 1+i.

XX) Calcolare il modulo e l'argomento del numero complesso

z_n = i^n con n∈N

XXI) Calcolare al variare del parametro reale a il modulo e l'argomento, riferito all'intervallo (−π, π], del numero complesso

z = a+(a+1)i

Svolgimenti e soluzioni

I) Esercizio su modulo e argomento di alcuni numeri complessi

II) Esercizio su calcolo di modulo e argomento di due numeri complessi

III) Calcolare l'argomento del numero complesso 1-i

IV) Esercizio: calcolare modulo e argomento di due numeri complessi, del loro prodotto e del loro rapporto

V) Esercizio su modulo e argomento di un numero complesso in forma algebrica

VI) Esercizio su modulo e argomento di un numero complesso fratto

VII) Esercizio su modulo e argomento del prodotto di due numeri complessi

VIII) Esercizio su modulo e argomento del prodotto e del rapporto

IX) Esercizio su modulo e argomento della potenza di un numero complesso

X) Determinare argomento e modulo di un rapporto di potenze di numeri complessi

XI) Esercizio su modulo e argomento di un numero complesso che è il prodotto di due potenze

XII) Esercizio sul calcolo di modulo e argomento di un numero complesso fratto

XIII) Esercizio teorico su modulo e argomento di numeri complessi

XIV) Esercizio: trovare tutti i numeri complessi con modulo assegnato e condizione su parte reale e immaginaria

XV) Modulo e argomento di una espressione di numeri complessi

XVI) Esercizio su modulo e argomento di un numero complesso fratto

XVII) Esercizio su forma algebrica da modulo e argomento

XVIII) Modulo e argomento di un numero complesso esponenziale

XIX) Modulo e argomento della radice di un numero complesso

XX) Modulo e argomento delle potenze dell'unità immaginaria

XXI) Modulo e argomento di un numero complesso con parametro

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

Lezione correlata

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