Esercizi sulle espressioni con i numeri complessi

Gli esercizi sulle espressioni con i numeri complessi sono un ottimo banco di prova per allenarsi e per valutare il proprio grado di preparazione con le regole algebriche in campo complesso.

 

Ad esempio, a volte capita di dover lavorare con i numeri complessi sotto forma di rapporti: in casi del genere è sempre bene saperli riscrivere nella forma algebrica equivalente. Le cose possono complicarsi molto velocemente perché nel frattempo possono comparire altre operazioni con i numeri complessi...

 

Ecco quindi una raccolta di espressioni in campo complesso, da intendersi come naturale prosieguo della scheda di esercizi sulle operazioni tra numeri complessi. Ce ne sono di vari livelli di difficoltà e di diverse tipologie. Sono il preludio per gli esercizi sulle equazioni complesse, quindi non sottovalutatele. ;) In caso di dubbi o problemi, ricordate che qui su YouMath lo Staff ha risposto a decine di migliaia di domande e che qualcuno potrebbe aver posto una domanda relativa al vostro stesso dubbio. Per qualsiasi necessità vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca.

 
 
 

Esercizi risolti sulle espressioni con i numeri complessi

 

Una breve premessa. Nella lezione sulle operazioni tra numeri complessi, e in particolare nell'approfondimento sul rapporto di numeri complessi, abbiamo visto come esprimere il quoziente tra due numeri complessi in forma algebrica e dunque eliminare la parte immaginaria presente a denominatore rendendolo reale.

 

Le richieste dei seguenti esercizi sono tra le più svariate, ma hanno tutte un punto in comune: prevedono di riscrivere i rapporti come numeri complessi in forma algebrica. Per ciascun esercizio che lo richieda vi proponiamo inoltre un piccolo suggerimento per il ripasso, nel caso servisse. ;)

 

Nota: gli esercizi sul calcolo delle radici di numeri complessi sono un po' più delicati e li trattiamo in una scheda a parte.

 

I) Calcola le seguenti potenze che coinvolgono l'unità immaginaria

 

\\ (a) \ \  \ i^{28} \ \ \ ; \ (b) \ \ \ i^{27} \ \ \ ; \ (c) \ \ \ i^{101} \\ \\ (d) \ \ \ i^{20} \ \ \ ; \ (e) \ \ \ i^{501} \ \ \ ; \ (f) \ \ (-i)^{545}

 

II) Esprimere il seguente numero complesso in forma algebrica

 

\frac{-1}{\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}}

 

III) Calcolare il modulo del numero complesso

 

1+i-\frac{i}{1+2i}

 

IV) Esprimere il seguente numero complesso in forma cartesiana

 

\(-1+3i)^{-1}

 

V) Calcolare la seguente espressione con i numeri complessi esprimendo il risultato in forma cartesiana.

 

\frac{4i}{1-i}+\frac{1+i}{1-i}+1

 

VI) \frac{1+11 i}{1-i}-\frac{i-3}{3-i}+(i-2)(i-3)-i

 

VII) \frac{i}{1+i}\cdot\frac{2-i}{2+i}-\frac{1+i}{i}\cdot\frac{2+i}{2-i}

 

VIII) Calcolare la forma algebrica del seguente numero complesso

 

z=\frac{i(i-\sqrt{3})^6}{i-1}

 

Suggerimento: usare la formula di De Moivre.

 

IX) Calcolare la potenza ventesima del numero complesso fratto

 

z=\left(\frac{1-3i}{3+i}\right)^{20}

 

Suggerimento: ricordare le proprietà dell'unità immaginaria.

 

X) Semplificare la seguente espressione con i numeri complessi

 

\frac{(2i^{28}-i^{45})^2}{2i^{41}}

 

XI) \frac{(1-i)^{12}}{(i+1)^{10}}

 

XII) Calcolare il valore della seguente espressione

 

(1-i)(1+i)+(2-i)^2+(1+i)^3

 

XIII) Semplificare l'espressione

 

\frac{3i}{2+i}-\frac{i-1}{2-i}-\frac{3(2-i)}{2i+1}+2(i-3)^3+(1+i)(1-i)-\frac{1}{5}

 

 

Qualche variante sugli esercizi relativi alle espressioni di numeri complessi

 

XIV) Calcolare la parte reale del numero complesso

 

\frac{e^{(3-i)x}}{2+i}

 

Suggerimento: usare la formula di Eulero.

 

XV) Determinare tutti i numeri complessi z\in\mathbb{C} per cui

 

\frac{z-i}{z+i} 

 

è un numero reale.

 

XVI) Sia x un numero reale. Esprimere il seguente numero complesso in forma algebrica, esplicitandone la parte reale e la parte immaginaria

 

z=\frac{1+x i}{x+i}

 

XVII) Esprimere in forma algebrica il seguente numero complesso

 

z=(x+i (x-1))((x-1)-ix)+(2+2i)x

 

dove x è un numero reale. Determinare inoltre la parte reale, la parte immaginaria e il modulo di z al variare del parametro x.

 

XVIII) Stabilire per quali valori del parametro reale x il prodotto

 

w=(x+2+xi)(1-2xi)

 

è un numero reale.

 

XIX) Sia z=a+ai un numero complesso con a\in\mathbb{R}.

 

(a) Calcolare al variare di a il prodotto z^2\cdot(z-a);

 

(b) determinare la parte reale e la parte immaginaria di

 

w=z+i\bar{z}

 

dove \bar{z} indica il coniugato di z;

 

(c) determina per quali valori del parametro a il numero complesso

 

w=z+2\bar{z}+i z

 

ha parte reale nulla.

 

XX) Dato il numero z=a+3+5i dove a è un parametro reale. Determina a in modo che:

 

(a) \ \ \ z^2 sia un numero reale;

 

(b) \ \ \ (\bar{z})^2 sia un numero immaginario;

 

(c) \ \ \ z\cdot\bar{z} sia uguale a 50.

 

XXI) Sia z=\frac{1}{xi} un numero complesso, dove x\in\mathbb{R}-\{0\}. Calcolare:

 

(a) \ \ \ z^{-1} \ \ \ ; \ \ \ (b) \ \ \ |z| \ \ \ ; \ \ \ (c) \ \ \ z^{2}

 

Fissato x=1, esprimi z in forma trigonometrica e determinare la potenza 30-esima di z.

 

XXII) Esprimere il numero complesso z=1+i in forma trigonometrica, dopodiché calcolare

 

(1+i)^{101}

 

XXIII) Sia z il numero complesso

 

z=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i

 

Determinare parte reale e parte immaginaria del numero complesso

 

w=z^2-Re(z)-i Arg(z)

 

dove Re(z)\ \mbox{e} \ Arg(z) sono rispettivamente la parte reale e l'argomento di z.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio sulle potenze dell'unità immaginaria

 

II) Riscrivere un numero complesso fratto in forma algebrica

 

III) Riscrivere un numero complesso fratto per calcolarne il modulo

 

IV) Potenza negativa di un numero complesso

 

V) Espressione con rapporto di numeri complessi

 

VI) Espressione con prodotti e rapporti di numeri complessi

 

VII) Calcolare espressione con numeri complessi

 

VIII) Esercizio con numero complesso fratto da trasformare in forma algebrica (potenza al numeratore)

 

IX) Riscrivere un numero complesso fratto e calcolarne la potenza ventesima

 

X) Esercizio: espressione fratta con potenze dell'unità immaginaria

 

XI) Calcolare il rapporto delle potenze di due numeri complessi mediante la formula di De Moivre

 

XII) Espressione con potenze di numeri complessi

 

XIII) Espressione con operazioni tra numeri complessi

 

XIV) Calcolare parte reale e parte immaginaria di un numero complesso con termine esponenziale

 

XV) Determinare i numeri complessi per cui un'espressione è reale

 

XVI) Parte reale e parte immaginaria di un rapporto di numeri complessi

 

XVII) Esercizio con espressione complessa parametrica

 

XVIII) Espressione di numeri complessi con parametro

 

XIX) Esercizio di calcolo sui numeri complessi

 

XX) Esercizio sui numeri complessi con parametro

 

XXI) Esercizio su coniugato, modulo e potenza di un numero complesso

 

XXII) Potenza di un numero complesso con esponente grande 

 

XXIII) Esercizio di calcolo su parte reale e parte immaginaria

 

 

Lezione correlata


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