Esercizi sugli insiemi di numeri complessi

Gli esercizi sugli insiemi di numeri complessi che vi proponiamo qui di seguito sono tutti risolti. La richiesta che li accomuna - vale a dire saper leggere e rappresentare gli insiemi complessi definiti con equazioni, disequazioni ed espressioni in campo complesso - prevede di saper lavorare, perlomeno in termini algebrici, con i numeri complessi.

 

Una piccola premessa. Nella lezione dedicata alle disequazioni con i numeri complessi abbiamo visto che ci sono determinate equazioni e disequazioni che coinvolgono i numeri complessi e che si riducono rispettivamente ad equazioni e disequazioni in due incognite reali. Risolvendole con il metodo algebrico o con il metodo grafico siamo in grado di ricavare una rappresentazione delle soluzioni, vale a dire degli elementi dell'insieme complesso, nel piano di Argand-Gauss.

 

In buona sostanza si tratta di una tipologia di esercizi di riepilogo che richiede di saper lavorare con gli insiemi in campo complesso. Se non l'avete già fatto vi raccomandiamo di leggere la lezione correlata. :)

 
 
 

Esercizi risolti sugli insiemi definiti mediante numeri complessi

 

A meno che non sia diversamente indicato, gli esercizi richiedono di descrivere e rappresentare gli insiemi in campo complesso individuati dalle rispettive condizioni.

 

Nota bene: chi ha provato a risolvere gli esercizi sulle equazioni complesse si sarà sicuramente accorto che c'è una tipologia particolare di equazioni in cui determinare le soluzioni equivale ad individuare il luogo geometrico descritto dall'equazione stessa. Benissimo: qui riprendiamo il discorso e lo ampliamo al caso delle disequazioni. ;)

 

I) \{z\in\mathbb{C}\ :\ Im(z)<0\}

 

II) \{z\in\mathbb{C}\ :\ -1<Re(z)<1\}

 

III) \{z\in\mathbb{C}\ :\ |z|>1\}

 

IV) \{z\in\mathbb{C}\ :\ 1<|z|<2\}

 

V) \left\{z\in\mathbb{C}\ :\ 0<Arg(z)<\frac{\pi}{6}\right\}

 

VI) Ricavare il luogo geometrico tale per cui la distanza di ogni suo punto dal punto (-3,0) sia la metà di quella rispetto al punto (3,0).

 

VII) Determinare il luogo geometrico degli z \in \mathbb{C} tali che

 

[|z-3i|^{2}+iRe(z+7\overline{z})Im(z-\overline{z})-(8i+1)z\overline{z}]

 

appartenga ad \mathbb{R}.

 

VIII) \left\{z\in\mathbb{C}\ :\ \begin{cases}Re\left(\frac{z+1}{z-1}\right)<0\\ Im(z+iz)\geq 0\end{cases}\ \right\}

 

IX) Determinare i numeri complessi z=x+iy che soddisfano la relazione

 

|z-i|=|z+i|

 

X) Rappresentare il seguente insieme nel piano di Argand-Gauss:

 

\{z\in\mathbb{C}\ |\ Im(z+\overline{z})=Re(z^2)\}

 

XI) \{z\in\mathbb{C}\ :\ |z+1|=|z-2i|\}

 

XII) I numeri complessi che verificano la condizione |z|=2:

 

- sono equidistanti dall'origine degli assi

 

- stanno su un quadrato simmetrico rispetto agli assi

 

- stanno nel cerchio di centro (0,0) e raggio 2

 

- appartengono alla circonferenza di centro (0,0) e raggio \sqrt{2}

 

XIII) L'insieme dei numeri complessi per cui


\begin{cases}Re(z)+2Im(z)\geq 1\\ |z+i-3|<1\end{cases}

 

è: 1) un semicerchio; 2) un cerchio; 3) un semipiano; 4) vuoto.

 

XIV) Risolvere la seguente equazione complessa e di rappresentarne le soluzioni nel piano di Gauss

 

[(z-i)^3]-i=0

 

XV) \left\{z \in\mathbb{C}\ :\ (Im(z))^{2} > 3(Re(z))^{2}\ \wedge\ |z|\leq 4 }\right\}

 

XVI) Come si rappresentano algebricamente le rette nel piano complesso?

 

XVII) \left \{ z \in\mathbb{C}\ : \left | z-3i \right |< \left | z+2i \right | \right \}

 

XVIII) Si considerino gli insiemi di numeri complessi

 

U_k=\{k^2 - 4k + i\},\ V=\{-3 + i\}

 

al variare di k\in\mathbb{R}. Determinare i valori di k per cui i due insiemi hanno intersezione non vuota.

 

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I), II), III), IV) ,V) Rappresentare 5 semplici insiemi nel piano di Argand Gauss

 

VI) Insieme nel piano di Argand Gauss descritto da una condizione sui complessi

 

VII) Luogo geometrico definito mediante un'espressione di numeri complessi

 

VIII) Luogo geometrico definito da due disequazioni in cui compaiono numeri complessi

 

IX) Determinare l'insieme di numeri complessi che soddisfa una relazione tra i moduli

 

X) Insieme complesso definito da equazione con parte reale e parte immaginaria

 

XI) Insieme nel piano di Gauss definito da un'equazione complessa con i moduli

 

XII) Insieme in campo complesso definito da una condizione sul modulo

 

XIII) Insieme di numeri complessi nel piano di Gauss

 

XIV) Rappresentare le soluzioni di un'equazione complessa nel piano di Gauss

 

XV) Esercizio: rappresentare un insieme nel piano complesso

 

XVI) Rette nel piano complesso

 

XVII) Insieme complesso con disequazione e moduli

 

XVIII) Insiemi complessi con parametro e intersezione non vuota

 

 

Lezione correlata


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