Equazioni in campo complesso

State leggendo la seconda scheda di esercizi svolti sulle equazioni in campo complesso. Se siete finiti qui per caso vi raccomandiamo vivamente di ripartire dalla prima scheda sulle equazioni con i numeri complessi.

 

Un breve riassunto della puntata precedente. Abbiamo già spiegato quali sono le difficoltà pratiche e didattiche di chi vuole imparare a risolvere le equazioni complesse: ce ne sono di tantissimi tipi e purtroppo una schematizzazione simile a quella vista per le equazioni in campo reale non è possibile.

 

Fortunatamente, in termini di verifiche scolastiche ed esami universitari, ci sono alcune tipologie più ricorrenti. Imparando a risolverle si acquisisce un'esperienza tale da permetterci di risolvere buona parte delle equazioni in campo complesso; per questo motivo abbiamo convenuto di catalogare gli esercizi più ricorrenti in diversi gruppi. Qui proseguiamo con la classificazione e, nella terza e ultima scheda di esercizi risolti sulle equazioni con i numeri complessi, vi proponiamo un riepilogo con cui valutare il vostro grado di preparazione. ;)

 

Esercizi risolti sulle equazioni in campo complesso

 

Abbiamo già analizzato le tipologie A), B), C), D) ed E) di equazioni in campo complesso. Procediamo nella classificazione e passiamo ad una selezione di esercizi svolti sui seguenti tipi:

 

F) equazioni complesse del tipo potenza n-esima di z uguale a un numero complesso → estrazione delle n radici complesse;

 

G) equazioni complesse di secondo grado con formula risolutiva ed estrazione delle radici;

 

H) potenza con incognita = potenza di un numero complesso → calcoli sul secondo membro o eventuale applicazione della formula di De Moivre, sostituzione, estrazione delle radici, sostituzione inversa.

Talvolta può capitare di evitare parecchia fatica con qualche trucco algebrico elegante, come ad esempio scomposizioni e raccoglimenti mediante i prodotti notevoli;

 

I) equazioni complesse con potenza di espressioni contenenti l'incognita per le quali il metodo di sostituzione non è conveniente → manipolazioni algebriche in modo da ridursi all'estrazione delle radici, oppure passaggio alla forma algebrica ed estrazione delle radici;

 

L) equazioni complesse con potenza dell'incognita complessa e rapporto di numeri complessi → calcoli ed estrazione delle radici;

 

M) equazioni complesse con potenze, coniugati e/o moduli → passaggio alla forma esponenziale, oppure passaggio alla forma esponenziale e calcolo delle radici;

 

N) equazioni complesse miste che richiedono manipolazioni algebriche, applicazione della legge di annullamento del prodotto in modo da ricondursi a uno o più dei casi studiati (compresi quelli della prima scheda).

 

O) casi particolari con ragionamenti algebrici.

 

 

Iniziamo? Tenete a mente che qui su YM c'è anche un risolutore di equazioni complesse online, nel caso servisse. ;)

 

I) z^3=1

 

II) z^3=2

 

III) z^3=i

 

IV) z^4=-4

 

V) z^6=-1

 

VI) z^{2}+\left ( 3i-1 \right )z-2+23i=0

 

VII) \left(i-\frac{1}{z}\right)^3-i^3=0

 

VIII) (z+i)^2=(\sqrt{3}+i)^3

 

IX) z^4= (5-i)^4

 

X) z^3=(2+3i)^3

 

XI) \left(\frac{3z+1}{3z-1}\right)^3 = 1

 

XII) (z+5\overline{z})^3 = -i

 

XIII) z^2-\frac{1+i}{(1-i)^2}=0

 

XIV) z^{4}=100\overline{z}

 

XV) (1+z)^5=|1+z|

 

XVI) z^2 \overline{z}^3 =\frac{i^4+3}{i-1}

 

XVII) |z|\overline{z}=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}

 

XVIII) z^5+i\overline{z}=0

 

XIX) z^{4}=2^{4}\overline{z}

 

XX) z^6-|z|^4+|z|^2=1

 

XXI) z^4-i(|i-2|^2)z=0

 

XXII) (z^3+1)(|z-i|-1)=0

 

XXIII) 8z^6-15z^3-2=0

 

XXIV) (z^4+2i)(z^3-5|z|\overline{z})=0

 

XXV) \left(z^4-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)|z-i|=0

 

XXVI) z^4+z^3+z^2+z+1=0

 

XXVII) (z\overline{z} -4)^2 + \left(Arg(z+i)-\frac{\pi}{2}\right)^2=0

 

XXVIII) |e^{-i(z^2-z)}| = 5

 

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) x^3=1

 

II) x^3=2

 

III) Radici terze di i

 

IV) Radici quarte complesse di -4

 

V) Radici seste complesse di -1

 

VI) Equazione complessa di secondo grado con formula e calcolo delle radici

 

VII) Equazione complessa con potenza e sostituzione

 

VIII) Equazione complessa con De Moivre e radici quadrate

 

IX) Equazione con radici quarte della potenza di un numero complesso

 

X) Equazione di terzo grado in C

 

XI) Equazione con il cubo di un termine fratto e numeri complessi

 

XII) Equazione complessa con potenza, radici cubiche complesse e sostituzione

 

XIII) Equazione di secondo grado pura in campo complesso con termine fratto

 

XIV) Equazione in campo complesso con forma esponenziale

 

XV) Equazione complessa di quinto grado con modulo

 

XVI) Equazione con la forma esponenziale dei numeri complessi

 

XVII) Equazione in campo complesso con forma esponenziale

 

XVIII) Equazione con numeri complessi, radici e forma esponenziale

 

XIX) Equazione complessa con potenza, coniugato e forma esponenziale

 

XX) Equazione complessa di sesto grado con i moduli

 

XXI) Equazione con potenza, modulo e differenza

 

XXII) Equazione in campo complesso con modulo e prodotto

 

XXIII) Equazione complessa di sesto grado con manipolazioni algebriche

 

XXIV) Equazione complessa con radici, modulo e coniugato

 

XXV) Equazione con numeri complessi, prodotto e modulo

 

XXVI) Equazione complessa di quarto grado con super barbatrucco

 

XXVII) Equazione complessa con argomento e coniugato

 

XXVIII) Equazione complessa con termine esponenziale

 

 

Prima scheda.................................Terza scheda

 
 

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