Esercizi punti isolati

Prova a risolvere i seguenti esercizi e a determinare, se esistono, i punti isolati dei seguenti insiemi. Se non lo hai fatto, ti consigliamo di leggere l'articolo punti isolati. Ricordati che è sufficiente trovare almeno un intorno di un punto x_(0) che non contenga altri punti dell'insieme considerato, per affermare che x_(0) è isolato.

Il primo esercizio è svolto, e in fondo trovi le soluzioni.

Esercizi sui punti isolati

 

0) E = (n)/(n+1) con n∈N.

 

Svolgimento: se hai letto la scheda di esercizi sui punti di accumulazione saprai di certo che l'unico punto di accumulazione dell'insieme E è 1. Tutti i punti dell'insieme sono isolati, e per vederlo facciamo la prova su un generico elemento: prendiamo quindi una n generica e il punto corrispondente (n)/(n+1).

I punti di E più vicini ad esso sono (n+1)/((n+1)+1) e (n−1)/((n−1)+1), dunque se consideriamo le loro distanze dal (n)/(n+1)

c = (n+1)/((n+1)+1)−(n)/(n+1), d = (n)/(n+1)−(n−1)/((n−1)+1)

tali distanze saranno due numeri (immaginando di prendere un determinato n) e ci basterà considerare un intorno B((n)/(n+1),ε) con ε < c e ε < d.

Questo ci assicura che (n)/(n+1) è un punto isolato!

Per avere un'idea più precisa, se consideriamo ad esempio il punto (4)/(5) (ottenuto per n=4) allora gli elementi di E più vicini ad esso saranno (3)/(4) e (5)/(6) (ottenuti per n=3 e 5 rispettivamente).

Le relative distanze saranno quindi (1)/(20) e (1)/(30): prendendo l'intorno B((4)/(5),(1)/(31)) abbiamo la garanzia che (4)/(5) è un punto isolato.

I) E = (n+2)/(n) con n∈N, zero escluso

II) E = (−1)^(n) con n∈N [potresti elencare gli elementi dell'insieme...]

III) E = (n^2−1)/(n+1) con n∈N [Il numeratore ti ricorda qualcosa?]

IV) E = (2,3)

V) E = (−1,5] U −2,8,(21)/(2)

VI) E = (n^2)/(n^2−1) con n∈N, uno escluso

VII) E = 1,2,3,4,5

VIII) E = (1)/(2^n)+2 con n∈N, zero escluso

IX) E = (ln(n))/(n) con n∈N, zero escluso

X) E = (n^3+1)/(n) con n∈N, zero escluso

Soluzioni:

I) Tutti gli elementi di E;

II) +1 e -1, cioè tutti gli elementi di E;

III) Tutti gli elementi di E;

IV) Non ci sono punti isolati;

V) −2, 8, (21)/(2);

VI) Tutti gli elementi di E;

VII) 1, 2, 3, 4, 5;

VIII) Tutti gli elementi di E;

IX) Tutti gli elementi di E;

X) Tutti gli elementi di E, zero escluso.

 

 

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Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Lezione correlata

Tags: esercizi su come trovare i punti isolati di un insieme, con un esempio svolto, suggerimento per lo svolgimento e metodo di risoluzione.

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