Esercizi svolti funzioni limitate e illimitate

Ecco a voi una selezione di esercizi sulla limitatezza e sull'illimitatezza delle funzioni. La richiesta è semplice: stabilire se le funzioni proposte sono limitate (superiormente, inferiormente, sia superiormente che inferiormente), o illimitate sul proprio dominio o eventualmente su insiemi specifici.

 

Trovate la teoria necessaria per risolvere gli esercizi nell'articolo funzioni limitate e illimitate.

 
 
 

Esercizi su funzioni limitate e illimitate

 

Tenete sempre a mente che la limitatezza/illimitatezza di una funzione è definita a partire dalla limitatezza/illimitatezza della sua immagine. Si tratta quindi di capire se un determinato insieme (per l'appunto l'immagine della funzione sull'insieme di definizione considerato) sia limitato o illimitato.

 

Prima di procedere, una breve ma importante premessa. Gli esercizi che vi proponiamo qui di seguito richiedono esclusivamente di conoscere la teoria presentata nelle lezioni sulle funzioni, e possono essere affrontati in due modi.

 

Metodo 1 (esercizi I - X): per funzioni semplici potete cercare di immaginare l'andamento della funzione tracciandone un grafico intuitivo e stabilire se sugli insiemi che abbiamo indicato nei rispettivi esercizi è limitata o meno. A proposito, se volete vedere quanto è accettabile il grafico da voi proposto potete servirvi del tool per il grafico di funzione online.

 

Metodo 2 (esercizi XI - XX): in alternativa, è possibile ricorrere alla definizione e a considerazioni di carattere analitico e/o algebrico: Lo scopo del gioco prevede sempre di capire qual è l'immagine della funzione e, di conseguenza, di studiarne la limitatezza o l'illimitatezza.

 

Come sempre in Matematica è possibile ricorrere a metodi più sofisticate, a patto di avere un po' di dimestichezza e soprattutto di averli già studiati. In effetti nel prosieguo delle lezioni di Analisi 1 introdurremo nozioni più avanzate che ci forniranno strumenti più efficaci per lo stabilire se una funzione è limitata o illimitata. Ad esempio, se siete già in grado di svolgere la procedura per lo studio di funzione, nulla vi vieta di ricorrere ad essa... Anche se in certi casi equivarrebbe a spezzare un grissino con un carro armato! ;)

 

I) Dimostrare che

 

f(x)=2x^2+4x+5

 

è una funzione limitata inferiormente dopo averne tracciato il grafico.

 

II) Data la funzione

 

f(x)=\frac{x+1}{x}

 

Dopo averne calcolato il dominio, rappresentare il grafico di f(x) e dedurre da esso che è una funzione illimitata.

 

III) Sia

 

f(x)=1-\sqrt{1+x^2}

 

Una volta determinato il dominio e tracciato suo il grafico, dire se è una funzione limitata oppure no.

 

IV) Considerata la funzione

 

f(x)=e^{|x-1|}-3

 

Mostrare che è una funzione limitata inferiormente mediante il metodo grafico.

 

V) Sia

 

f(x)=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}+3

 

Calcolare il dominio della funzione, rappresentarne il grafico e dedurre da esso se è una funzione limitata.

 

VI) Sia

 

f(x)=\log_{5}(5-|x|)

 

Dopo aver determinato il dominio, tracciare il grafico di f(x) e dedurre che f(x) è una funzione limitata superiormente.

 

VII) Dedurre dal grafico di

 

f(x)=2\sin(x+3)-4

 

che è una funzione limitata inferiormente e superiormente.

 

VIII) Stabilire se

 

f(x)=\frac{2}{\pi}\arctan(x+1)+1

 

è una funzione limitata sul proprio dominio, avvalendosi del metodo grafico.

 

IX) Sia data la funzione

 

f(x)=\frac{\arcsin(x+1)}{2}

 

Determinare il dominio e rappresentare il grafico di f(x). Stabilire, infine, se è una funzione limitata giustificando adeguatamente la risposta.

 

X) Calcolare il dominio di

 

f(x)=\arccos(1-|x|)

 

e, dopo averne rappresentato il grafico, stabilire se f(x) è una funzione limitata oppure no.

 

XI) Sia data la funzione polinomiale

 

f(x)=x^2+2x

 

Dopo aver determinato l'immagine della funzione, stabilire se f(x) è una funzione limitata oppure illimitata.

 

XII) Verificare che

 

f(x)=\frac{x+3}{x-2}

 

è una funzione limitata nel proprio dominio dopo averne calcolato l'insieme immagine.

 

XIII) Dimostrare che

 

f(x)=\frac{1}{1+x^2}

 

è una funzione limitata nel proprio dominio deducendo tale caratteristica dall'insieme immagine.

 

XIV) Determinare il dominio e l'immagine della funzione

 

f(x)=\sqrt{\frac{3+4x}{x+1}}

 

Mostrare infine che f(x) è una funzione illimitata superiormente.

 

XV) Determinare l'immagine della funzione

 

f(x)=\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}+1}}

 

e dedurre da essa se f(x) è una funzione limitata.

 

XVI) Dimostrare che

 

f(x)=\ln\left(1+\frac{1}{5x^2}\right)

 

è una funzione limitata sull'intervallo I=\left[\frac{1}{\sqrt{10}},1\right].

 

XVII) Mostrare che

 

f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{\tfrac{6}{1+2\cos\left(\frac{1}{x}\right)}-1}

 

è una funzione limitata sull'intervallo J=\left[\frac{3}{\pi},+\infty\right), giustificando opportunamente il procedimento seguito.

 

XVIII) Dopo aver determinato il dominio di

 

f(x)=\sqrt{1-x^2}+\arctan\left(\frac{1}{x}\right)

 

dimostrare che è una funzione limitata sul proprio insieme di definizione.

 

XIX) Mostrare che

 

f(x)=3x+4\arctan\left(\frac{1}{e^{2x}+1}\right)

 

è una funzione illimitata, avvalendosi degli opportuni risultati teorici.

 

XX) Dimostrare che

 

f(x)=\begin{cases}e^{\frac{1}{x}}-3&\mbox{se} \ x>1 \\ \\ \sqrt{2-\sin^2\left(\frac{\pi}{2}x\right)}&\mbox{se} \ 0\le x\le 1 \\ \\ \arctan\left(\frac{1}{5x-1}\right)&\mbox{se}\ x<0\end{cases}

 

è una funzione limitata sul proprio dominio.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio limitatezza di una funzione polinomiale

 

II) Esercizio sulla limitatezza di una funzione razionale fratta

 

III) Esercizio funzione irrazionale limitata o illimitata

 

IV) Esercizio: funzione limitata o illimitata, esponenziale con valore assoluto

 

V) Studiare la limitatezza-illimitatezza di una funzione irrazionale

 

VI) Esercizio: stabilire se una funzione logaritmica è limitata o illimitata

 

VII) Esercizio sulla limitatezza di una funzione trigonometrica con seno

 

VIII) Studiare la limitatezza di una funzione con arcotangente

 

IX) Esercizio su limitatezza e illimitatezza di una funzione con arcoseno

 

X) Stabilire se una funzione con arcocoseno è limitata o illimitata

 

XI) Esercizio: funzione polinomiale limitata o illimitata

 

XII) Stabilire se una funzione razionale fratta è limitata o meno dall'immagine

 

XIII) Studio della limitatezza di una funzione dall'immagine

 

XIV) Esercizio: funzione irrazionale illimitata o limitata dall'immagine

 

XV) Immagine e limitatezza/illimitatezza di una funzione fratta con esponenziale

 

XVI) Limitatezza di una funzione logaritmica su un intervallo

 

XVII) Esercizio: funzione limitata o illimitata su un intervallo

 

XVIII) Dimostrare che una funzione è limitata sul dominio

 

XIX) Esercizio: mostrare che una funzione con arcotangente è limitata

 

XX) Funzione definita a tratti limitata o illimitata

 

 

Lezione correlata


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