Esercizi risolti sulle funzioni monotone

State consultando la scheda di esercizi svolti sulle funzioni monotone, una selezione di esercizi risolti sulle funzioni crescenti e decrescenti strutturata in modo che sia utile sia agli studenti delle Scuole Superiori, sia agli universitari.

 

Gli esercizi che seguono possono essere risolti ricorrendo esclusivamente alla teoria proposta nelle lezioni su funzioni crescenti e decrescenti e sulla monotonia delle funzioni, e più in generale nell'intera sezione di lezioni dedicate alle funzioni.

 
 
 

Esercizi su funzioni crescenti e decrescenti

 

Più precisamente, in questa raccolta di esercizi proponiamo solamente funzioni la cui monotonia può essere studiata in modo piuttosto semplice, e nella fattispecie avvalendosi di due metodi.

 

Metodo 1 (esercizi I - V): a patto che le espressioni analitiche delle funzioni non siano troppo complicate, è possibile ricavare tutte le informazioni relative alla monotonia direttamente dal grafico. In parole povere si tratta di disegnare il grafico intuitivo delle funzioni proposte e di studiare la monotonia a partire dall'analisi grafica. A questo proposito, potete all'occorrenza usare il tool per tracciare il grafico online come utile strumento di autoverifica.

 

Metodo 2 (esercizi VI - X): un'ulteriore metodo prevede di studiare la monotonia usando direttamente la definizione, e dunque di impostare e risolvere opportune disequazioni.

 

Chi è in fase avanzata con lo studio di Analisi 1 potrebbe ritenere questi due metodi inutilmente complicati, e non avrebbe tutti i torti. La valenza della scheda di esercizi è di stampo didattico: più avanti, quando studieremo le derivate, avremo modo di vedere che esiste un metodo piuttosto semplice che ci permette di stabilire con facilità quali sono gli intervalli di monotonia di una funzione. Chi sa già di cosa stiamo parlando può eventualmente dare uno sguardo agli esercizi su massimi e minimi con le derivate (e seguenti).

 

I) Tracciare il grafico di

 

f(x)=4x^2-4x-3 

 

e determinare gli intervalli in cui f(x) è una funzione crescente e quelli in cui è decrescente.

 

II) Rappresentare il grafico di

 

f(x)=\frac{x+1}{2x-3}

 

e dire se f(x) è una funzione strettamente decrescente sul proprio dominio. In caso contrario, determinare gli intervalli di monotonia.

 

III) Determinare il dominio di

 

f(x)=2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}

 

e dopo averne tracciato il grafico ricavare gli eventuali intervalli in cui f(x) è una funzione crescente e quelli in cui è decrescente.

 

IV) Sia

 

f(x)=|4-2^{|x-1|}|

 

Una volta tracciato il suo grafico dedurre gli intervalli in cui f(x) è una funzione crescente e quelli in cui è decrescente.

 

V) Dopo aver tracciato il grafico intuitivo, determinare gli intervalli in cui

 

f(x)=1-\frac{\log_{4}(x^2+2x+1)}{2}

 

è una funzione crescente e quelli in cui è una funzione decrescente.

 

VI) Dimostrare che

 

f(x)=\frac{3x+1}{3x+3}

 

è una funzione crescente nell'intervallo (-\infty,-1) e nell'intervallo (-1,+\infty). È una funzione globalmente crescente? Giustificare la risposta.

 

VII) Calcolare il dominio di

 

f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\sqrt{2x+2}

 

e dimostrare che f(x) è una funzione crescente su tale insieme. Suggerimento: studiare la crescenza delle funzioni

 

g(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ h(x)=\sqrt{2x+2}

 

VIII) Determinare il dominio di

 

f(x)=\ln(x+1)-\ln(x)

 

e dimostrare che f(x) è una funzione decrescente sul proprio insieme di definizione.

 

IX) Mostrare che

 

f(x)=e^{-\left(\cos^2\left(\frac{1}{x}\right)-\sin^2\left(\frac{1}{x}\right)\right)}

 

è una funzione decrescente sull'intervallo \left[\frac{2}{\pi}, +\infty\right).

 

X) Provare che

 

f(x)=\sin\left(\frac{\arccos(\tan(x))}{2}\right)

 

è una funzione decrescente sull'intervallo \left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right).

 

 

Soluzioni e svolgimenti

 

I) Monotonia di una funzione polinomiale

 

II) Monotonia di una funzione razionale fratta

 

III) Monotonia di una funzione irrazionale

 

IV) Monotonia di una funzione con valore assoluto

 

V) Monotonia di una funzione logaritmica

 

VI) Esercizio sulla monotonia di una funzione con la definizione

 

VII) Dimostrare che una funzione è crescente sul dominio

 

VIII) Dimostrare che una funzione è decrescente sul dominio

 

IX) Esercizio: monotonia di una funzione su un intervallo

 

X) Dimostrare che una funzione è decrescente su un intervallo

 

 

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Tags: come studiare la crescenza e la decrescenza senza derivate, esercizi sulla crescenza e decrescenza di una funzione.