Esercizi risolti sulle funzioni suriettive

In questa scheda vi proponiamo una selezione di esercizi svolti sulle funzioni suriettive: l'argomento di riferimento è il concetto di funzione suriettiva, di cui abbiamo parlato nel dettaglio nella lezione correlata.

 

Divideremo la raccolta in due blocchi: il primo riguarda gli esercizi sul significato grafico della suriettività, il secondo invece riguarda lo studio della suriettività mediante la definizione o col metodo analitico. In entrambi i casi viene posta particolare attenzione al concetto di suriettività nei confronti di immagine e codominio.

 

Nel caso ve la foste persa sappiate che c'è anche un'altra scheda di esercizi sulla suriettività con suggerimenti e soluzioni. In un'altra scheda invece potete mettervi alla prova con gli esercizi svolti sulle funzioni biunivoche. :)

 
 
 

Esercizi svolti sulle funzioni suriettive

 

Stabilire se i seguenti grafici individuano delle funzioni suriettive supponendo che il loro codominio sia \mathbb{R}. In caso contrario, determinare gli insiemi di arrivo che le rendono suriettive.

 

1.I)

 

Esercizio sulle funzioni suriettive 1

 

1.II)

 

Esercizio sulle funzioni suriettive 2

 

1.III)

 

Esercizio sulle funzioni suriettive 3

 

1.IV)

 

Esercizio sulle funzioni suriettive 4

 

1.V)

 

Esercizio sulle funzioni suriettive 5

 

1.VI)

 

Esercizio sulle funzioni suriettive 6

 

1.VII)

 

Esercizio sulle funzioni suriettive 7

 

1.VIII)

 

Esercizio sulle funzioni suriettive 8

 

1.IX)

 

Esercizio sulle funzioni suriettive 9

 

1.X)

 

Esercizio sulle funzioni suriettive 10

 

 

Esercizi sulla suriettività delle funzioni

 

2.I) Stabilire se la funzione

 

y=\frac{x}{2}+3

 

è suriettiva utilizzando la definizione.

 

2.II) Stabilire se la funzione

 

f(x)=x^2+2x

 

risulta suriettiva. In caso contrario, determinare l'insieme di arrivo che ne garantisce la suriettività.

 

2.III) Stabilire se la funzione

 

f(x)=\frac{2x+1}{x-3}

 

risulta suriettiva e in caso contrario determinare l'insieme di arrivo per il quale è soddisfatta la definizione di suriettività.

 

2.IV) Stabilire se la funzione

 

f(x)=\frac{x}{1-x}

 

risulta suriettiva e in caso contrario determinare l'insieme di arrivo per il quale è soddisfatta la definizione di suriettività.

 

2.V) Utilizzare la definizione per stabilire se la funzione irrazionale

 

f(x)=1-\sqrt{1+x}

 

risulti suriettiva. In caso contrario determinare l'insieme di arrivo che la renda tale.

 

2.VI) Stabilire se la funzione

 

f(x)=|x-3|-1

 

è suriettiva. In caso negativo, determinare l'insieme di arrivo che la renda tale.

 

2.VII) Utilizzare la definizione di funzione suriettiva per dimostrare che la funzione con termini esponenziali

 

f(x)=e^{2x}+2e^{x}

 

è suriettiva se per insieme di arrivo si considera Cod(f)=(0, +\infty).

 

2.VIII) Dimostrare, o confutare, la suriettività della funzione fratta

 

f(x)=\frac{\ln(x)+1}{\ln(x)-1}

 

mediante la definizione di funzione suriettiva.

 

2.IX) Sia f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} la funzione goniometrica

 

f(x)=\frac{2}{3}\sin(2x+3)

 

Stabilire se essa è una funzione suriettiva avvalendosi della definizione. In caso contrario, determinare l'insieme di arrivo che la renda tale.

 

2.X) Stabilire se la funzione

 

f(x)=\arcsin(\sqrt{1+x})

 

è suriettiva se l'insieme di arrivo è Cod(f)=\mathbb{R}, in caso contrario determinare l'insieme che la renda tale.

 

2.XI) Sia f :[-2, +\infty)\to\mathbb{R} la funzione razionale definita da

 

f(x)=\frac{2x-3}{x+3}

 

Stabilire se la funzione è suriettiva, in caso contrario determinare l'insieme di arrivo che la renda tale.

 

2.XII) Sia f \ : \ [-3, 0]\ \to \ \mathbb{R} la funzione irrazionale data da

 

f(x)=\sqrt{1-x}

 

Stabilire utilizzando la definizione se essa è suriettiva. In caso contrario determinare l'insieme di arrivo che la renda tale.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

1.I) Se il codominio è \mathbb{R} la funzione non è suriettiva, infatti esistono delle rette parallele all'asse delle ascisse che non intersecano il grafico: la retta di equazione y=\frac{1}{2} ne è un esempio. L'insieme di arrivo che rende la funzione suriettiva è l'immagine della funzione, ossia Im=(-\infty, -2]\cup[1, +\infty).

 

1.II) Se il codominio è \mathbb{R} la funzione non è suriettiva, infatti esistono delle rette parallele all'asse delle ascisse che non ne intersecano il grafico: la retta di equazione y=3 ne è un esempio. L'insieme di arrivo che rende la funzione suriettiva è l'immagine della funzione, ossia l'insieme Im=(-\infty, 2].

 

1.III) La funzione è suriettiva. Ogni retta parallela all'asse delle ascisse interseca almeno una volta il grafico della funzione.

 

1.IV) Se il codominio è \mathbb{R} la funzione non è suriettiva, infatti esistono delle rette parallele all'asse delle ascisse che non ne intersecano il grafico: la retta y=1 ne è un esempio. L'insieme di arrivo che rende la funzione suriettiva è l'immagine della funzione, ossia l'insieme Im=\left[-2,\frac{7}{10}\right].

 

1.V) Se il codominio è \mathbb{R} la funzione non è suriettiva, infatti esistono delle rette parallele all'asse delle ascisse che non ne intersecano il grafico: la retta y=1 ne è un esempio. L'insieme di arrivo che rende la funzione suriettiva è l'immagine della funzione, ossia l'insieme Im=(-\infty, 0]\cup(2,+\infty).

 

1.VI) Se il codominio è \mathbb{R} la funzione non è suriettiva, infatti tutte le rette parallele all'asse delle ascisse che si trovano al di sotto della retta y=-3 non intersecano il grafico della funzione. Possiamo rendere suriettiva la funzione considerando come insieme di arrivo la sua immagine, ossia Im=(-3,+\infty).

 

1.VII) Se il codominio è \mathbb{R} la funzione non è suriettiva, infatti siamo in grado di determinare l'equazione di una retta parallela all'asse delle ascisse che non interseca il grafico: y=3 ne è un esempio. Risulta suriettiva considerando come insieme di arrivo la sua immagine, vale a dire Im=(-\infty, 2].

 

1.VIII) La funzione è suriettiva. Osserviamo infatti che ogni retta parallela all'asse delle ascisse interseca il grafico della funzione almeno una volta.

 

1.IX) La funzione non è suriettiva se prendiamo come codominio l'insieme \mathbb{R} perché esiste (almeno) una retta parallela all'asse delle ascisse che non interseca il grafico: ad esempio y=5. Per rendere la funzione suriettiva, possiamo considerare come insieme di arrivo l'immagine della funzione, cioè Im=(-4, 1)\cup[2,3)\cup\{4\}.

 

1.X) La funzione non è suriettiva se prendiamo come codominio l'insieme \mathbb{R} perché esiste (almeno) una retta parallela all'asse delle ascisse che non interseca il grafico: ad esempio y=5. Per rendere la funzione suriettiva, possiamo considerare come insieme di arrivo l'immagine della funzione, cioè Im=(-2, 0]\cup\{1\}\cup\{2\}.

 

2.I) Esercizio: stabilire se una funzione è suriettiva con la definizione

 

2.II) Esercizio sulla suriettività di una funzione polinomiale

 

2.III) Esercizio sulla suriettività di una funzione fratta

 

2.IV) Stabilire se una funzione fratta è suriettiva

 

2.V) Esercizio funzione irrazionale suriettiva

 

2.VI) Esercizio: studiare la suriettività di una funzione con valore assoluto

 

2.VII) Esercizio su funzione suriettiva con esponenziali

 

2.VIII) Suriettività di una funzione logaritmica fratta

 

2.IX) Suriettività di una funzione goniometrica con seno

 

2.X) Esercizio su funzione suriettiva con arcoseno e radice

 

2.XI) Stabilire se una funzione razionale fratta è suriettiva

 

2.XII) Esercizio sulla suriettività di una funzione irrazionale

 

 


 

In caso di necessità sappiate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna: ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata


Tags: esercizi risolti sulle funzioni iniettive e sull'iniettività.