Esercizi sulla definizione di funzione

In questa scheda introduttiva potete mettervi alla prova con una selezione di esercizi sulla definizione di funzione. Gli esercizi proposti qui di seguito esauriscono, nel loro complesso, tutti i principali modi con cui si può esprimere una funzione (a parole, mediante associazione tra elementi, mediante grafico, mediante prodotto cartesiano) e sono corredati dai relativi svolgimenti con soluzione.

 

I prerequisiti necessari per affrontare gli esercizi sulla definizione di funzione non sono molti e li abbiamo trattati nel dettaglio nella lezione dedicata alla definizione di funzione. Per quanto l'argomento sembri banale e di scarsa importanza, vi raccomandiamo di non sottovalutarlo: capire cosa caratterizza le funzioni (intese come associazioni e relazioni) è essenziale per iniziare lo studio dell'Analisi Matematica col piede giusto.

 

Nota bene: quando avrete finito vi suggeriamo di passare alla scheda di esercizi sulla valutazione delle funzioni e delle preimmagini. ;)

 

Esercizi sulla definizione di funzione - associazioni espresse a parole

 

Quali delle seguenti relazioni individuano una funzione e quali no? Motivare adeguatamente la risposta.

 

1.I) La relazione che associa ad ogni studente il proprio peso (espresso in chilogrammo forza).

 

1.II) La relazione che associa ad ogni figlio il proprio padre.

 

1.III) La relazione che associa ad ogni padre il/i proprio/i figlio/i.

 

1.IV) La relazione che associa ad ogni squadra di calcio di serie A il punteggio acquisito a fine campionato.

 

1.V) La relazione che associa ad ogni secondo la velocità di un treno.

 

1.VI) La relazione che associa ad ogni lavoratore il proprio numero di telefono.

 

1.VII) La relazione che associa ad ogni libro il numero di pagine di cui è composto.

 

1.VIII) La relazione che associa ad ogni brano musicale il proprio compositore.

 

1.IX) La relazione che ad ogni materia scolastica associa i libri adottati.

 

1.X) La relazione che ad ogni triangolo associa il suo perimetro.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

1.I) È una funzione che ha per dominio l'insieme degli studenti e per codominio l'insieme dei numeri reali positivi. Ad ogni studente riusciamo ad associare uno e un solo peso.

 

1.II) È una funzione che ha per dominio l'insieme dei figli e per codominio l'insieme dei padri. Ad ogni figlio è possibile associare uno e un solo padre. È interessante osservare che più figli possono avere lo stesso padre, ma ciò non inficia la definizione di funzione.

 

1.III) Non è una funzione. Un padre può avere più figli.

 

1.IV) È una funzione che ha per dominio l'insieme delle squadre di calcio di Serie A e per codominio l'insieme dei numeri naturali. A fine campionato è possibile attribuire ad ogni squadra uno e un solo punteggio.

 

1.V) È una funzione che ha per dominio l'insieme dei numeri reali e come codominio l'insieme delle possibili velocità che un treno può acquisire. Ad ogni secondo infatti è possibile associare univocamente la velocità di un determinato treno.

 

1.VI) Non è una funzione. Un lavoratore può possedere più numeri di telefono (o nessuno).

 

1.VII) È una funzione che ha per dominio l'insieme di tutti i libri e per codominio l'insieme dei numeri naturali. Ogni libro possiede, infatti, un numero ben preciso di pagine.

 

1.VIII) Non è una funzione. Più compositori possono collaborare per scrivere un brano musicale.

 

1.IX) Non è una funzione. Una materia come Italiano, ad esempio, ha un testo per la grammatica e uno per la letteratura.

 

1.X) È una funzione che ha dominio l'insieme dei triangoli e come codominio l'insieme dei numeri reali positivi. Note le lunghezze dei tre lati a, \ b\ \mbox{e} \ c è possibile calcolare il perimetro mediante la formula 2p=a+b+c.

 

Esercizi sulla definizione di funzione - Mediante associazione tra elementi

 

Verificare se le seguenti relazioni sono funzioni oppure no, motivando adeguatamente le risposte.

 

2.I) Siano A=\{0, 1, 2\}\ \mbox{e} \ B=\{-1, 0\} due insiemi e consideriamo le seguenti corrispondenze:

 

- all'elemento 0 di A associamo l'elemento -1 di B;

 

- all'elemento 1 di A associamo l'elemento 0 di B;

 

- all'elemento 2 di A associamo l'elemento -1 di B;

 

In simboli matematici

 

\\ 0\longmapsto -1\\ \\ 1\longmapsto 0 \\ \\ 2\longmapsto -1

 

Queste corrispondenze definiscono una funzione da A \ \mbox{a}\ B?

 

2.II) Siano A=\{\mbox{Andrea},\ \mbox{Marco}, \ \mbox{Giovanni}\} \ \mbox{e}\ B=\{\mbox{moto}, \ \mbox{auto}\} due insiemi. Consideriamo le seguenti associazioni

 

- ad Andrea associamo la parola moto;

 

- a Marco associamo la parola auto;

 

- ad Andrea associamo la parola auto;

 

- a Giovanni associamo la parola moto.

 

In simboli

 

\begin{array}{ccc}\mbox{Andrea} & \longmapsto & \mbox{moto} \\ \\ \mbox{Marco} & \longmapsto & \mbox{auto} \\ \\ \mbox{Andrea} & \longmapsto & \mbox{auto} \\ \\ \mbox{Giovanni} & \longmapsto & \mbox{moto}\end{array}

 

Queste associazioni definiscono una funzione tra l'insieme A e l'insieme B? Perché?

 

2.III) Siano A=\{-3, \ -2,\ -1,\ 0\}\ \mbox{e}\ B=\{0,\ 1, \ 2\} due insiemi e consideriamo le associazioni

 

- all'elemento -3 di A associamo l'elemento 0 di B;

 

- all'elemento -2 di A associamo l'elemento 0 di B;

 

- all'elemento -1 di A associamo l'elemento 1 di B.

 

In simboli

 

\\ -3 \ \longmapsto 0 \\ \\ -2 \ \longmapsto 0 \\ \\ -1 \longmapsto 1

 

Queste associazioni definiscono una funzione tra l'insieme A e l'insieme B? Perché?

 

2.IV) Siano A=\left\{-\frac{1}{2},\ 0,\ \frac{1}{2} \right\} \ \mbox{e} \ B=\left\{-1, 0, 1\right\} due insiemi. Consideriamo le seguenti corrispondenze:

 

- all'elemento -\frac{1}{2} di A associamo l'elemento -1 di B;

 

- all'elemento 0 di A associamo l'elemento -1 di B;

 

- all'elemento \frac{1}{2} di A associamo l'elemento -1 di B.

 

In simboli

 

\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \longmapsto& -1 \\ \\ 0&\longmapsto& -1 \\ \\ \frac{1}{2}&\longmapsto&-1\end{array}

 

Queste corrispondenze definiscono una funzione tra l'insieme A e l'insieme B? Perché?

 

2.V) Siano A=\{0,\ 2, \ 4\} \ \mbox{e} \ B=\{0,1,2\} due insiemi. Consideriamo le seguenti corrispondenze:

 

- all'elemento 0 di B associamo l'elemento 0 di A;

 

- all'elemento 1 di B associamo l'elemento 2 di A;

 

- all'elemento 2 di B associamo l'elemento 4 di A.

 

In simboli

 

\begin{array}{ccc}0&\longmapsto&0\\ \\ 1&\longmapsto&2 \\ \\ 2&\longmapsto & 4\end{array}

 

Queste corrispondenze definiscono una funzione tra l'insieme B e l'insieme A? Perché?

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

2.I) Sì, è una funzione giacché ad ogni elemento dell'insieme di partenza A associamo uno e un solo elemento dell'insieme di arrivo B.

 

2.II) No, non è una funzione. Osserviamo infatti che all'elemento \mbox{Andrea} dell'insieme di partenza A associamo due elementi distinti \mbox{moto}\ \mbox{e} \ \mbox{auto} dell'insieme di arrivo B.

 

2.III) No, non è una funzione. Esiste un elemento dell'insieme di partenza A, ossia a=0, cui non viene associato alcun valore dell'insieme di arrivo B.

 

2.IV) Sì, è una funzione perché ad ogni elemento dell'insieme di partenza A associamo uno e un solo elemento dell'insieme B. Ai tre elementi dell'insieme A corrisponde lo stesso elemento di B, ma ciò non viola la definizione di funzione.

 

2.V) Sì, è una funzione dall'insieme B all'insieme A, infatti ad ogni elemento dell'insieme B associa uno e un solo elemento di A.

 

Esercizi sulla definizione di funzione - mediante grafico

 

Quali dei seguenti grafici rappresentano una funzione? Motivare la risposta.

 

3.I)

 

Esercizio sulla definizione di funzione con il grafico - 1

 

3.II)

 

Esercizio sulla definizione di funzione con il grafico - 2

 

3.III)

 

Esercizio sulla definizione di funzione con il grafico - 3

 

3.IV)

 

Esercizio sulla definizione di funzione con il grafico - 4

 

3.V)

 

Esercizio sulla definizione di funzione con il grafico - 5

 

3.VI)

 

Esercizio sulla definizione di funzione con il grafico - 6

 

Soluzioni e svolgimenti

 

3.I) Il grafico rappresenta una funzione; notiamo infatti che ad ogni ascissa essa associa una e una sola ordinata.

 

3.II) Il grafico non rappresenta una funzione; all'ascissa x=0, ad esempio, si associano due valori y=-1 \ \mbox{e} \ y=1. Dal punto di vista geometrico, per essere una funzione ogni retta parallela all'asse y deve intersecare il grafico al più una volta sola, cosa che evidentemente non succede. Osserviamo che il grafico è una circonferenza di centro nell'origine e raggio 1.

 

3.III) Il grafico è un'iperbole equilatera che però non rappresenta una funzione. All'ascissa x=2 si associano due ordinate y=-\sqrt{3} \ \mbox{e} \ y=\sqrt{3}, dunque non è vero che ogni retta parallela all'asse y interseca il grafico al più una volta sola.

 

3.IV) Il grafico rappresenta una funzione; ad ogni ascissa si associa una ed una sola ordinata. Osserviamo che il grafico coincide con una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y.

 

3.V) Il grafico non rappresenta una funzione; all'ascissa x=1 si associano due ordinate distinte y=-\frac{1}{2} \ \mbox{e} \ y=\frac{3}{2}. Geometricamente esistono delle rette parallele all'asse y che intersecano il grafico più di una volta.

 

3.VI) Il grafico non rappresenta una funzione; all'ascissa x=3 si associano infinite ordinate. Osserviamo che il grafico è l'unione di due rette, una parallela all'asse delle ordinate, l'altra parallela all'asse delle ascisse.

 

Esercizi sull'interpretazione grafica di immagine e preimmagine

 

Veniamo a un blocco di esercizi utili per consolidare le definizioni correlate al concetto di funzione. Nella seguente immagine è riportato il grafico di una funzione y=f(x)

 

 

Grafico di una funzione per valutazioni e preimmagini

 

 

Aiutandosi con i valori evidenziati completare le seguenti frasi:

 

4.I) L'immagine del punto x=-6 è y=..., dunque ...=f(-6).

 

4.II) La preimmagine del punto y=5 è x=..., dunque 5=f(...).

 

4.III) La preimmagine del punto y=... è x=..., dunque -3=f(4).

 

4.IV) L'immagine del punto x=6 è y=..., dunque ...=f(...).

 

4.V) L'immagine del punto x=0 è y=..., dunque -5=f(...).

 

4.VI) La preimmagine del punto y=... è x=-4, dunque ...=f(-4).

 

4.VII) L'immagine del punto x=... è y=-1, dunque -1=f(...).

 

4.VIII) La preimmagine del y=7 è x=..., dunque 7=f(...).

 

4.IX) L'immagine di x=-2 è y=..., dunque ...=f(...).

 

4.X) Il punto y=... non ha alcuna preimmagine perché non esiste alcun valore di x che realizza l'uguaglianza ...=f(x).

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

4.I) L'immagine del punto x=-6 è y=0, dunque 0=f(-6).

 

4.II) La preimmagine del punto y=5 è x=-2, dunque 5=f(-2).

 

4.III) La preimmagine del punto y=-3 è x=4, dunque -3=f(4).

 

4.IV) L'immagine del punto x=6 è y=7, dunque 7=f(6).

 

4.V) L'immagine del punto x=0 è y=-5, dunque -5=f(0).

 

4.VI) La preimmagine del punto y=3 è x=-4, dunque 3=f(-4).

 

4.VII) L'immagine del punto x=2 è y=-1, dunque -1=f(2).

 

4.VIII) La preimmagine del y=7 è x=6, dunque 7=f(6).

 

4.IX) L'immagine di x=-2 è y=5, dunque 5=f(-2).

 

4.X) Il punto y=1 non ha alcuna preimmagine perché non esiste alcun valore di x che realizza l'uguaglianza 1=f(x).

 

Esercizi sulla definizione di funzione - mediante prodotto cartesiano

 

Da ultimo, una breve raccolta di esercizi (per i soli studenti universitari) in cui vengono proposte alcune relazioni definite mediante prodotto cartesiano. La consegna è sempre la medesima: capire se le relazioni proposte soddisfano la definizione di funzione oppure no.

 

Dati i due insiemi

 

A=\{a,\ b,\ c,\ d,\ e\}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=\{1, \ 2, \ 3, \ 4\}

 

dire quali dei seguenti sottoinsiemi del prodotto cartesiano A\times B sono funzioni dall'insieme A all'insieme B, fornendo un'adeguata giustificazione.

 

5.I) R_1=\{(a,1),\ (b,1),\ (c,2), \ (d, 2), \ (e, 3)\}

 

5.II) R_2=\{(a,1),\ (a,2), \ (b, 3), \ (c, 2), \ (d, 1), \ (e, 1)\}

 

5.III) R_3=\{(a,3),\ (b, 1),\ (c, 1), \ (d, 3), \ (e,1)\}

 

5.IV) R_4=\{(b,1),\ (c, 2),\ (e, 3),\ (a, 1), \ (d, 4)\}

 

5.V) R_5=\{(a, 5),\ (b, 4),\ (c,3),\ (d,2),\ (e,1)\}

 

5.VI) R_6=\{(f, 1),\ (a, 1),\ (b, 3),\ (c, 4),\ (d,2),\ (e, 1)\}

 

5.VII) R_7=\{(a, 1),\ (b, 2), \ (c, 1), (d, 4)\}

 

5.VIII) R_8=\{(a,1), \ (b,1)\}

 

5.IX) R_9=\{(1,a), \ (2,b), \ (3,c),\ (4,d)\}

 

5.X) R_{10}=\{(a,a),\ (b,b),\ (c,c),\ (d,d),\ (e,e)\}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

5.I) Il sottoinsieme R_1 individua una funzione dall'insieme A all'insieme B. Ad ogni elemento dell'insieme A si associa uno e un solo elemento dell'insieme B.

 

5.II) Il sottoinsieme R_2 non individua una funzione perché allo stesso elemento a dell'insieme di partenza si associano due elementi distinti dell'insieme di arrivo: lo si evince dalla coppia ordinata (a,1)\ \mbox{e} \ (a, 2).

 

5.III) Il sottoinsieme R_3 individua una funzione dall'insieme di partenza A all'insieme di arrivo B. Ad ogni elemento di A, infatti, si associa uno e un solo elemento di B.

 

5.IV) Il sottoinsieme R_4 individua una funzione dall'insieme A all'insieme B. Ad ogni elemento dell'insieme A si associa uno e un solo elemento dell'insieme B.

 

5.V) Il sottoinsieme R_5 individua una funzione dall'insieme A all'insieme B.

 

5.VI) Il sottoinsieme R_6 non individua una funzione dall'insieme A all'insieme B perché l'elemento f non appartiene ad A.

 

5.VII) Il sottoinsieme R_7 non individua una funzione dall'insieme A all'insieme B giacché all'elemento e non viene associato alcun valore di B.

 

5.VIII) Il sottoinsieme R_8 non individua una funzione dall'insieme A all'insieme B perché agli elementi c,\ d\ \mbox{ed}\ e di A non si associa alcun elemento di B.

 

5.IX) R_9 non è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A\times B dunque non può certamente rappresentare una funzione dall'insieme A all'insieme B. Rappresenta però una funzione da B ad A infatti R_9\subset B\times A e inoltre ad ogni elemento di B si associa uno e un solo elemento di A.

 

5.X) R_{10} non è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A\times B dunque non può rappresentare una funzione dall'insieme A all'insieme B. Osserviamo che R_{10} individua una funzione dall'insieme A all'insieme A, infatti R_{10} è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A\times A=A^2 e in più ad ogni elemento di A si associa uno e un solo elementi di A.

 

 

 


 

Una piccola chiosa finale: da notare che gli esercizi proposti rispecchiano quanto affermato nella lezione correlata: una funzione può far corrispondere per definizione ad una x una e una sola y, d'altra parte f può far corrispondere a diverse x un medesimo valore y. Rifletteteci... ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata

 

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