Esercizi: metodo del grafico intuitivo – Scheda 1

Lo scopo degli esercizi sul grafico intuitivo consiste nel prendere confidenza con il significato grafico delle operazioni tra funzioni. Nella pratica il metodo del grafico intuitivo consente di disegnare il grafico di funzioni con espressioni analitiche semplici partendo dai grafici delle funzioni elementari e talvolta dai grafici già studiati in Geometria Analitica.

 

Ovviamente tale metodo, di cui parliamo nelle lezioni sul grafico intuitivo e sulle regole per il grafico immediato, non può essere applicato per qualsiasi funzione. Ci occuperemo della procedura che permette di disegnare il grafico di una funzione qualsiasi più avanti, quando studieremo la tecnica che permette di effettuare lo studio di funzione.

 

Tutti gli esercizi sul grafico intuitivo sono corredati dalle soluzioni e da svolgimenti sintetici. Nel caso non bastassero potete mettervi alla prova con la seconda scheda di esercizi, mentre se volete testare le vostre capacità con altre funzioni potete aiutarvi con il tool per disegnare il grafico online. ;)

 
 
 

Tracciare il grafico intuitivo delle seguenti funzioni

 

Un consiglio: cercate di decomporre il problema in tanti passaggi elementari. Consideriamo ad esempio il primo esercizio: la funzione coinvolta ha come grafico una retta, e saprete sicuramente disegnarla senza fare senza ricorrere a passaggi aggiuntivi, nonostante ciò è possibile pensare di disegnare il grafico mediante passaggi successivi. Osserviamo che

 

x\mapsto 2x\mapsto 2x+5

 

Vi sembra una stupidaggine? In questo caso lo è, ma se proviamo ad applicare lo stesso ragionamento per la funzione f(x)=\frac{|x-2|}{3}

 

x\mapsto |x|\mapsto |x-2|\mapsto \frac{|x-2|}{3}

 

le cose si semplificano parecchio. ;) La filosofia è dividere e conquistare: partite dai grafici delle funzioni elementari, scomponetele in passaggi elementari, ricordate il significato geometrico delle operazioni algebriche, ed infine disegnate il grafico.

 

I) f(x)=2x+5

 

II) f(x)=\sqrt{x}+3

 

III) f(x)=(x+1)^2-4

 

IV) f(x)=|x^2-4x-8|

 

V) f(x)=\ln(x+3)-7

 

VI) f(x)=e^{x+2}+5

 

VII) f(x)=\arctan(|x|)+3

 

VIII) f(x)=2\cos(x+1)-2

 

IX) f(x)=3\cdot 2^{|x+1|}+1

 

X) f(x)=|\ln(x+5)|

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Come già suggerito nell'introduzione, il grafico è quello di una retta. In alternativa si può partire dal grafico della bisettrice del primo e del terzo quadrante:

 

x\mapsto 2x\mapsto 2x+5

 

Nell'ordine: dilatazione lungo l'asse delle ordinate; traslazione verticale verso l'alto.

 

Esercizio 1 sul grafico intuitivo

 

II) Si parte dal grafico della radice con indice 2, su cui è sufficiente una traslazione verticale verso l'alto.

 

\sqrt{x}\mapsto\sqrt{x}+3

 

 

 

Esercizio 2 sul grafico intuitivo

 

III) Qui ci sono due possibilità: da un lato possiamo sviluppare il quadrato del binomio e scrivere l'espressione della funzione nella forma 

 

f(x)=x^2+2x-3

 

e dunque disegnare direttamente il grafico della corrispondente funzione polinomiale di grado 2, che è una parabola. In alternativa possiamo effettuare una traslazione verticale verso il basso sulla parabola y=(x-1)^2

 

(x-1)^2\mapsto (x-1)^2-4

 

Esercizio 3 sul grafico intuitivo

 

IV) Si tratta di disegnare il grafico di una funzione polinomiale di grado 2 (parabola) e successivamente riflettere la parte del grafico con ordinate negative rispetto all'asse x

 

x^2-4x-8\mapsto |x^2-4x-8|

 

Esercizio 4 sul grafico intuitivo

 

V) Partiamo dal grafico della funzione logaritmica

 

\ln(x)\mapsto \ln(x+3)\mapsto \ln(x+3)-7

 

dopodiché applichiamo, nell'ordine, una traslazione orizzontale verso sinistra e una traslazione verticale verso il basso.

 

Esercizio 5 sul grafico intuitivo

 

VI) Il punto di partenza è il grafico della funzione esponenziale

 

e^x\mapsto e^{x+2}\mapsto e^{x+2}+5

 

ed effettuiamo, nell'ordine, una traslazione orizzontale verso sinistra e una traslazione verticale verso l'alto.

 

Esercizio 6 sul grafico intuitivo

 

VII) Innanzitutto si considera il grafico dell'arcotangente

 

\arctan(x)\mapsto \arctan(|x|)\mapsto\arctan(|x|)+3

 

Successivamente si ricopia la parte del grafico con ascisse positive sulla parte del piano cartesiano ad ascisse negative, ed infine si trasla verticalmente il grafico verso l'alto.

 

Esercizio 7 sul grafico intuitivo

 

VIII) Consideriamo il grafico della funzione coseno

 

\cos(x)\mapsto\cos(x+1)\mapsto 2\cos(x+1)\mapsto 2\cos(x+1)-2

 

ed effettuiamo, a seguire: una traslazione orizzontale verso sinistra, una dilatazione del grafico ed infine una traslazione verticale verso il basso.

 

Esercizio 8 sul grafico intuitivo

 

IX) Si parte dalla funzione esponenziale con base 2:

 

2^x\mapsto 2^{|x|}\mapsto 2^{|x+1|}\mapsto 3\cdot 2^{|x+1|}\mapsto 3\cdot 2^{|x+1|}-2

 

dopodiché effettuiamo: una sostituzione del grafico a sinistra dell'asse y ricopiando la parte del grafico a destra dell'asse y, una traslazione orizzontale verso sinistra, una dilatazione del grafico ed infine una traslazione verticale verso il basso.

 

Esercizio 9 sul grafico intuitivo

 

X) Si considera il grafico della funzione logaritmica

 

\ln(x)\mapsto\ln(x+5)\mapsto |\ln(x+5)|

 

e si applicano, nell'ordine: una traslazione orizzontale verso sinistra e una riflessione della parte del grafico con ordinate negative rispetto all'asse delle x.

 

Esercizio 10 sul grafico intuitivo

 

 

In caso di necessità sappiate che qui su YM ci sono decine di migliaia di esercizi svolti: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. Nel caso vogliate correggere altri esercizi sul grafico immediato, potete usare il tool per disegnare i grafici di funzioni online!

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata...........Passa agli esercizi intermediate


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