Esercizi funzioni pari e dispari - Scheda 2

Eccoci alla seconda scheda di esercizi sulle funzioni pari e dispari. Nel caso non abbiate già letto la prima scheda di esercizi su funzioni pari e dispari, vi suggeriamo di ripartire da lì.

 

Se volete fare un ripasso trovate tutto quello che c'è da sapere nella lezione correlata: funzioni pari e dispari.

 

Esercizi risolti su funzioni pari e dispari

 

Nei seguenti esercizi si richiede di studiare la parità e la disparità delle funzioni proposte, ed eventualmente di stabilire quali di esse non sono pari né dispari.

 

XXIII) f(x)=\frac{1}{1+\cos{x}}

 

XXIV) f(x)=\frac{x^3-x}{\sqrt[5]{x^3}}

 

XXV) f(x)=xe^{-x^2}

 

XXVI) f(x)=(1-x^2)e^{1-x^2}

 

XXVII) f(x)=\arcsin(\sqrt[5]{x})

 

XXVIII) f(x)=\sqrt[3]{x(x-1)^2}

 

XXIX) f(x)=\cos\left(\frac{e^{x^3+x}}{x}\right)

 

XXX) f(x)=\ln\left(\frac{3-x^2}{x^2+x-2}\right)

 

XXXI) f(x)=x|\log(|\arctan(x)|)|

 

XXXII) f(x)=\arccos(\sqrt[3]{x})

 

XXXIII) f(x)=\ln(6|x|-x^2-3x^4)

 

XXXIV) f(x)=\log_x(5)

 

XXXV) f(x)=\frac{\mbox{sgn}(x)}{\tan(x)}

 

XXXVI) f(x)=\tan(|x+x^3|) \ \ \ \mbox{con} \ x\in \left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)

 

XXXVII) f(x)=\frac{4x^x+5x-3}{(x^2+1)^2}

 

XXXVIII) f(x)=x^{\cos(x)}

 

XXXIX) f(x)=\sinh(x^3)

 

XL) f(x)=\begin{cases}x^2+1&\mbox{se} \ -1<x< 1 \\ x^3-x&\mbox{se} \ x\le -1\vee x\ge 1\end{cases}

 

XLI) f(x)=\begin{cases}x^2&\mbox{se} \ |x|\le 1\\ -x^2&\mbox{se} \ |x|>1\end{cases}

 

XLII) Determinare tutte le funzioni polinomiali di grado al più 3 che

 

(a) sono pari sull'intero asse reale;

 

(b) sono dispari sull'intero asse reale;

 

(c) sono sia pari che dispari sull'intero asse reale.

 

XLIII) f(x)=\left\lfloor x^4+2x^2\right\rfloor+\cos\left(\frac{1}{x^4+x^2+1}\right)

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

XXIII) Esercizio su funzione trigonometrica fratta pari o dispari

 

XXIV) Esercizio funzione irrazionale fratta pari o dispari

 

XXV) Dispari. Il termine esponenziale non crea problemi in termini di dominio, che è \mbox{Dom}(f)=\mathbb{R}, e inoltre

 

f(-x)=(-x)e^{-(-x)^2}=-xe^{-x^2}=-f(x)

 

XXVI) Pari. Il dominio è \mbox{Dom}(f)=\mathbb{R}, e inoltre

 

f(-x)=(1-(-x)^2)e^{1-(-x)^2}=(1-x^2)e^{1-x^2}=f(x)

 

XXVII) Ricordando com'è definita la funzione arcoseno, per il dominio dobbiamo imporre la doppia disequazione

 

-1\leq \sqrt[5]{x}\leq +1

 

che equivale al sistema di disequazioni

 

\begin{cases}\sqrt[5]{x}\geq -1\\ \sqrt[5]{x}\leq 1\end{cases}\ \ \to\ \ \mbox{Dom}(f)=[-1,1]

 

Concludiamo che la funzione è dispari, infatti

 

f(-x)=\arcsin(\sqrt[5]{(-x)})=\arcsin(-\sqrt[5]{x})=-\arcsin(\sqrt[5]{x})=-f(x)

 

XXVIII) Né pari né dispari. Il dominio è \mbox{Dom}(f)=\mathbb{R}, ma d'altra parte

 

f(-x)=\sqrt[3]{(-x)\cdot ((-x)-1)^2}=-\sqrt[3]{x(-x-1)^2}=-\sqrt[3]{x(x+1)^2}

 

XXIX) Né pari né dispari. Il dominio è \mbox{Dom}(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)

 

f(-x)=\cos\left(\frac{e^{(-x)^3+(-x)}}{(-x)}\right)=\cos\left(\frac{e^{-x^3-x}}{-x}\right)=\\ \\ \\ =\cos\left(\frac{e^{-(x^3+x)}}{x}\right)=\cos\left(\frac{1}{xe^{x^3+x}}\right)

 

dove nel penultimo passaggio abbiamo usato le formule degli angoli associati per la funzione coseno, e nell'ultimo passaggio una nota proprietà delle potenze.

 

XXX) Il dominio della funzione si ricava imponendo la positività dell'argomento del logaritmo, vale a dire:

 

\frac{3-x^2}{x^2+x-2}>0

 

Analizzando il segno del numeratore e quello del denominatore e una volta costruita la tabella dei segni, otteniamo che il dominio della funzione è

 

\mbox{Dom}(f)=(-2,-\sqrt{3})\ \cup \ (1,\sqrt{3})

 

Esso non è simmetrico rispetto all'origine e dunque la funzione non può essere né pari né dispari.

 

XXXI) Dispari. Per il dominio basta osservare che l'argomento del logaritmo è non negativo in forza della presenza del valore assoluto, per cui l'unica condizione da imporre è

 

\arctan(x)\neq 0\ \ \to\ \ x\neq 0\ \ \to\ \ \mbox{Dom}(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)

 

D'altra parte, grazie alle proprietà della funzione arcotangente

 

f(-x)=(-x)\cdot |\log(|\arctan(-x)|)|=-x|\log(|-\arctan(x)|)|=\\ \\ =-x|\log(|\arctan(x)|)|=-f(x)

 

XXXII) La funzione non è pari né dispari. Nonostante il dominio sia simmetrico rispetto a x=0

 

-1\leq \sqrt[3]{x}\leq +1\ \ \to\ \ \mbox{Dom}(f)=[-1,1]

 

risulta che

 

f(-x)=\arccos(\sqrt[3]{(-x)})=\arccos(-\sqrt[3]{x})

 

A questo punto basta osservare che l'arcocoseno non è pari né dispari per concludere che la funzione proposta non è pari né dispari.

 

XXXIII) Pari. Il dominio della funzione non è semplice da determinare, infatti la condizione

 

6|x|-x^2-3x^4>0

 

è una disequazione trascendente. D'altra parte possiamo osservare che l'argomento del logaritmo è una funzione pari

 

g(x)=6|x|-x^2-3x^4\\ \\ g(-x)=6|-x|-(-x)^2-3(-x)^4=6|x|-x^2-3x^4

 

ne consegue che il dominio di f(x)  è necessariamente simmetrico rispetto a x=0. Da ultimo osserviamo che

 

f(-x)=\ln(g(-x))=\ln(g(x))=f(x)

 

XXXIV) Per definizione il logaritmo richiede che la base sia positiva e diversa da 1, quindi

 

\mbox{Dom}(f)=(0,1)\cup(1,+\infty)

 

e la funzione non è pari né dispari

 

XXXV) Pari. Il domino si ricava risolvendo una semplice equazione goniometrica

 

\tan(x)\neq 0\ \ \to\ \ x\neq \frac{k\pi}{2}\ \mbox{ con }k\in\mathbb{Z}

 

Per il resto basta ricordare che la funzione segno e la funzione tangente sono dispari

 

f(-x)=\frac{\mbox{sgn}(-x)}{\tan(-x)}=\frac{-\mbox{sgn}(x)}{-\tan(x)}=\frac{\mbox{sgn}(x)}{\tan(x)}=f(x)

 

XXXVI) Parità e disparità di una funzione su un intervallo

 

XXXVII) Esercizio: stabilire se una funzione è pari o dispari

 

XXXVIII) Parità di una funzione esponenziale a base variabile

 

XXXIX) Parità disparità di una funzione con seno iperbolico

 

XL) Stabilire se una funzione definita a tratti è pari o dispari

 

XLI) Esercizio su parità e disparità di una funzione definita a tratti

 

XLII) Esercizio teorico su parità e disparità

 

XLIII) Esercizio su funzione pari o dispari con parte intera 

 

 


 

Qui su YM potete trovare migliaia di esercizi svolti e tutte le risposte ai vostri dubbi: in caso di necessità non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata.....Passa alla scheda 1

 

Tags: esercizi sulla parità e sulla disparità, funzioni pari e dispari.