Esercizi risolti su codominio e immagine di una funzione

Prima di affrontare questa scheda di esercizi su codominio e immagine vi raccomandiamo di leggere le seguenti righe. Se avete già letto le nostre lezioni su codominio e immagine delle funzioni saprete sicuramente che immagine e codominio sono enti matematici ben distinti tra loro...

 

Nello specifico chiedere di calcolare il codominio non ha senso, perché il codominio non può essere calcolato. Purtroppo alcuni docenti usano l'espressione esercizi sul calcolo del codominio in modo improprio, intendendo in realtà esercizi sul calcolo dell'immagine. Noi nel titolo abbiamo volontariamente riportato anche il termine codominio per attirare gli studenti indotti in errore da una nomenclatura sbagliata, e per avere l'opportunità di disambiguare il significato dei due termini. :)

 

Nota bene: il calcolo dell'immagine e l'individuazione del codominio di una funzione sono fondamentali studiare la suriettività di una funzione, perché permettono di capire come è fatta l'immagine della funzione e come va ristretto il codominio per renderla suriettiva.

 
 
 

Esercizi sul calcolo del codominio sul calcolo dell'immagine delle funzioni

 

Se non avete alcun dubbio al riguardo procedete pure con gli esercizi sul codominio esercizi sull'immagine delle funzioni: sono tutti corredati da suggerimenti e soluzioni. In caso contrario, vi raccomandiamo una lettura preventiva delle due lezioni correlate.

 

Nello specifico gli esercizi di questa scheda hanno carattere propedeutico e prevedono unicamente di determinare l'immagine delle funzioni proposte mediante il metodo grafico. Il calcolo dell'immagine però non è sempre tutto rose e fiori e può richiedere tecniche più o meno avanzate, basate su nozioni successive sulle funzioni. Per questo motivo torneremo sull'argomento con un'ulteriore scheda di esercizi risolti sull'immagine delle funzioni.

 

Gli esercizi proposti qui di seguito richiedono di calcolare le immagini delle funzioni assegnate avvalendosi dei loro grafici e considerandole come funzioni reali di variabile reale f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}, quindi considerando come codominio \mathbb{R}.

 

I) y=2x+1

 

II) y=-x^2+1

 

III) y=\sqrt{1-x^2}

 

IV) y=-\frac{1}{2}\sqrt{1-4x^2}

 

V) y=\sqrt{1+x^2}

 

VI) y=\sqrt{1-x}

 

VII) y=-\sqrt{4-x^2}+1

 

VIII) y=\frac{x-1}{x+1}

 

IX) y=\sin(x)

 

X) y=\cos(x)

 

XI) y=\tan(x)

 

XII) y=\arctan(x)

 

XIII) y=\arcsin(x)

 

XIV) y=\arccos(x)

 

XV) y=\begin{cases}x&\mbox{se}\  x<-3 \\ \sqrt{9-x^2}&\mbox{se}\  -3\le x\le 3 \\  -1&\mbox{se} \ x>3\end{cases}

 

 

Soluzioni

 

I) Esercizio su immagine di una funzione con metodo grafico

 

II) Esercizio su immagine di una funzione con parabola

 

III) Esercizio sull'immagine di una funzione irrazionale

 

IV) Esercizio dominio e immagine di una funzione irrazionale

 

V) Esercizio sull'immagine di una funzione con radice

 

VI) Esercizio sul calcolo dell'immagine di una funzione con radice

 

VII) Esercizio su dominio e immagine di una funzione irrazionale

 

VIII) Esercizio immagine di una funzione fratta

 

IX) Dominio e immagine funzione seno

 

X) Dominio e immagine funzione coseno

 

XI) Dominio e immagine funzione tangente

 

XII) Dominio e immagine funzione arcotangente

 

XIII) Dominio e immagine funzione arcoseno

 

XIV) Dominio e immagine funzione arcocoseno

 

XV) Immagine di una funzione definita a tratti

 

 

 

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