Esercizi sul dominio di funzioni – Intermediate

State leggendo la seconda scheda di esercizi sul dominio delle funzioni, detto anche insieme di definizione o campo di esistenza. In questo caso vi proponiamo esercizi di livello intermedio, con suggerimenti per lo svolgimento e soluzioni.

 

Per svolgere gli esercizi è necessario ricordare a menadito le regole per il calcolo del dominio. Nel caso vogliate esercitarvi con funzioni dall'espressione più semplice o più complicata, vi rimandiamo:

 

- alla scheda di esercizi sul dominio - livello facile;

 

- alla scheda di esercizi sul dominio - livello avanzato.

 

In alternativa sappiate che qui su YM ci sono anche tre schede di esercizi risolti sul dominio, con svolgimenti completi e tutti i calcoli spiegati nel dettaglio.

 
 
 

Esercizi sul dominio delle funzioni - livello intermedio

 

Risolvere i seguenti esercizi sul campo di esistenza delle funzioni proposte. A seconda dei casi riportiamo un suggerimento per impostare correttamente lo svolgimento.

 

I) y=\sqrt{\ln\left(x^2-5x+6\right)}

 

[Suggerimento: ci sono un logaritmo e una radice quadrata; ci vuole un sistema di disequazioni ed è necessario saper risolvere le disequazioni di secondo grado, nonché le disequazioni logaritmiche]

 

II) y=\frac{(x+2)^2}{\ln(1+x)}

 

[Suggerimento: ci sono un logaritmo e un denominatore]

 

III) y=\frac{\sqrt{e^{x}-2}}{x}

 

[Suggerimento: ci sono una radice e un denominatore. Sapete risolvere le disequazioni esponenziali?]

 

IV) y=\frac{2x}{\ln(x^2-1)}+\frac{3}{\sqrt{x+2}}-2x

 

[Suggerimento: un logaritmo, una radice e due denominatori]

 

V) y=\ln(1+e^{\frac{x}{3}})

 

VI) y=\mbox{arcsin}\left(\frac{x+2}{x}\right)

 

[Suggerimento: attenzione all'arcoseno! Inoltre, c'è un denominatore...]

 

VII) y=\ln\left(\sqrt{1-x^2}\right)

 

VIII) y=\ln\left(\frac{x}{5}\right)-\sqrt{4x^2-1}

 

IX) y=\sqrt{-2-\ln(x-2)}

 

X) y=\sqrt{\frac{x^3-5x^2+3x+1}{2x-1}}

 

[Suggerimento: impostare opportunamente una disequazione fratta e aiutarsi con la regola di Ruffini]

 

XI) y=\sqrt{\ln(x)}\sqrt[7]{x^2+3x}

 

XII) y=\sqrt{4^{3x-x^2-2}-1}

 

XIII) y=\sqrt{x^2-2}\ln(\ln(x))

 

[Suggerimento: qui ci sono tre condizioni da imporre: radice, logaritmo e ancora logaritmo]

 

 

Soluzioni

 

Le soluzioni vengono indicate a volte con unione di intervalli, a volte indicando semplicemente i punti che vanno esclusi da R per ottenere il dominio. Concettualmente le due notazioni sono del tutto equivalenti.

 

Inoltre, nelle soluzioni indichiamo i domini delle funzioni denotando di volta in volta la funzione con y=f(x).

 

I) Dom(f)=\left(-\infty,\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right] \ \cup \ \left[\frac{5+\sqrt{5}}{2},+\infty \right)

 

II) Dom(f)=(-1,0) \ \cup \ (0,+\infty)

 

III) Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\ :\ x\geq \ln(2)\}

 

IV) Dom(f)=(-2,-\sqrt{2}) \ \cup \ (-\sqrt{2},-1) \ \cup \ (1,\sqrt{2}) \ \cup \ (\sqrt{2},+\infty)

 

V) Dom(f)=\mathbb{R}

 

VI) Dom(f)=(-\infty,-1]

 

VII) Dom(f)=(-1,+1)

 

VIII) Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }x\geq\frac{1}{2}\right\}

 

IX) Dom(f)=(2,e^{-2}+2]

 

X) Dom(f)=\left(-\infty,2-\sqrt{5}\right] \ \cup \ \left(\frac{1}{2},1\right] \ \cup \ \left[2+\sqrt{5},+\infty\right)

 

XI) Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }x\geq 1\}

 

XII) Dom(f)=[1,2]

 

XIII) Dom(f)=[\sqrt{2},+\infty)

 

 


 

Se qualcosa non fosse chiaro, o per altri esercizi svolti e spiegati nel dettaglio, vi raccomandiamo di fare buon uso della barra di ricerca interna. Abbiamo risolto migliaia di esercizi e risposto ad altrettante domande degli studenti. ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata


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