Esercizi risolti sulle funzioni invertibili

Questa scheda propone una selezione di esercizi svolti sulle funzioni invertibili e sulla nozione di invertibilità di una funzione, di cui abbiamo trattato nel dettaglio nell'omonima lezione: funzione invertibile.

 

Se avete letto la lezione, o più in generale se avete dimestichezza con l'argomento in questione, saprete di per certo che è essenziale conoscere i metodi per stabilire se una funzione è iniettiva e per stabilire se una funzione è suriettiva. Eventualmente potete fare un po' di allenamento preliminare cimentandovi con gli esercizi svolti sulle funzioni biunivoche prima di procedere. ;)

 

PS: a seguire, vi raccomandiamo di consultare la scheda di esercizi risolti sulla funzione inversa. :)

 
 
 

Esercizi risolti sulle funzioni invertibili e sull'invertibilità

 

I) Dopo aver calcolato il dominio di

 

f(x)=\frac{3x}{4x+1}

 

verificare che è una funzione invertibile avvalendosi degli opportuni risultati teorici.

 

II) Dopo aver calcolato il dominio della funzione

 

f(x)=\frac{x}{1+\sqrt{x}}

 

mostrare che essa è una funzione invertibile.

 

III) Data la funzione

 

f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+3}}

 

Una volta determinato il dominio di f(x), dire se è una funzione invertibile utilizzando gli opportuni risultati teorici.

 

IV) Analizzare l'invertibilità della funzione

 

f(x)=\frac{|x|}{x}

 

V) Dimostrare che

 

f(x)=\frac{4x^3}{x^2+1}

 

è una funzione invertibile e calcolare la controimmagine f^{-1}(2).

 

VI) Data la funzione

 

f(x)=e^{\tfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}}

 

(a) Determinare il dominio Dom(f) e l'immagine della funzione Im(f);

 

(b) stabilire se f: Dom(f)\to Im(f) è una funzione iniettiva e/o una funzione suriettiva. È una funzione invertibile? Giustificare adeguatamente il procedimento seguito.

 

VII) Data l'applicazione

 

f(x)=\ln\left(\frac{e x+3}{x+1}\right)

 

(a) Calcolare il dominio Dom(f) e l'immagine della funzione Im(f);

 

(b) f(x) è una funzione iniettiva? È una funzione suriettiva se per insieme di arrivo si considera l'insieme immagine? Perché?

 

(c) f:Dom(f)\to Im(f) è una funzione invertibile? Giustificare adeguatamente la risposta.

 

VIII) Data la funzione

 

f(x)=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+4}

 

Calcolarne il dominio e dedurre che è una funzione invertibile verificando che f(x) rispetta la definizione di funzione iniettiva.

 

IX) Data la funzione

 

f(x)=\sin(2x)

 

(a) Stabilire se è una funzione invertibili sul suo dominio fornendo una giustificazione adeguata;

 

(b) dato per noto che la funzione seno y=\sin(x) è invertibile su tutti gli intervalli del tipo

 

I_k=\left[-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right] \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

 

determinare tutti gli intervalli massimali J_k su cui f(x) è una funzione invertibile.

 

X) Sia

 

f(x)=\tan\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)

 

(a) Determinare il dominio di f(x);

 

(b) stabilire se è una funzione invertibile sul dominio;

 

(c) posto che y=\tan(x) è una funzione invertibile su ogni intervallo del tipo

 

I_k=\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right)\ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{Z}

 

determinare gli intervalli massimali di invertibilità J_k associati a f(x) al variare del parametro k.

 

XI) Determinare il più grande intervallo su cui

 

f(x)=\sqrt{|x-2|-|x|+2}

 

è una funzione invertibile.

 

XII) Data la funzione

 

f(x)=\arctan\left(\sqrt{x-1}+1\right)

 

(a) Calcolare il dominio Dom(f) e l'immagine della funzione Im(f);

 

(b) f:Dom(f)\to Im(f) è una funzione iniettiva e/o suriettiva? È una funzione invertibile sul dominio? Giustificare adeguatamente le risposte.

 

XIII) Dimostrare algebricamente che

 

f(x)=\begin{cases}x&\mbox{se}\ x\ge 0\\ \\ \frac{1}{x}+1&\mbox{se} \ x<0\end{cases}

 

non è una funzione invertibile sul proprio dominio.

 

XIV) Dimostrare che

 

f(x)=\begin{cases}\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)&\mbox{se} \ x>0 \\ \\ \ln\left(\frac{x}{x-1}\right)&\mbox{se} \ x<0\end{cases}

 

è una funzione invertibile utilizzando il metodo algebrico.

 

XV) Determinare i valori del parametro reale k per i quali

 

\\ f:Dom(f) \to Im(f) \ \ \ ;  \ \ \ f(x)=\frac{kx+1}{k^2x+2}

 

è una funzione invertibile.

 

XVI) Determinare gli eventuali valori del parametro reale positivo k in modo che

 

f(x)=\frac{ke^{x}+1}{e^{x}+k}

 

sia una funzione invertibile sull'intero asse reale.

 

XVII) Determinare i valori del parametro k che rendono

 

f(x)=e^{\tfrac{(k^2+2k)x}{\sqrt{x}+k^2 x}}

 

una funzione invertibile.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Stabilire se una funzione fratta è invertibile 

 

II) Esercizio: dire se una funzione irrazionale fratta è invertibile

 

III) Altro esercizio sull'invertibilità di una funzione irrazionale fratta

 

IV) Esercizio: stabilire se una funzione è invertibile

 

V) Esercizio: funzione fratta invertibile? 

 

VI) Esercizio su funzione invertibile: esponenziale con radice

 

VII) Stabilire se una funzione logaritmica fratta è invertibile

 

VIII) Esercizio invertibilità di una funzione fratta con termini esponenziali

 

IX) Esercizio: funzione seno invertibile

 

X) Esercizio invertibilità della funzione tangente

 

XI) Intervallo massimale su cui una funzione è invertibile

 

XII) Esercizio sull'invertibilità di una funzione con tangente e radice

 

XIII) Esercizio su funzione definita a tratti non invertibile

 

XIV) Dimostrare che una funzione definita a tratti è invertibile

 

XV) Esercizio: funzione parametrica invertibile

 

XVI) Valori di un parametro per cui una funzione è invertibile

 

XVII) Esercizio su funzione invertibile con parametro

 

 

Lezione correlata


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