Esercizi risolti sulla funzione inversa

Ecco una selezione di esercizi svolti sulla funzione inversa: tutti gli esercizi che potete consultare qui sotto richiedono di calcolare l'inversa di un'assegnata funzione, ma non prima di aver stabilito se sia possibile fatlo. Tutti gli esercizi sono risolti e commentati in ogni singolo passaggio.

 

Le lezioni di riferimento per affrontare al meglio gli esercizi sono quelle relativa alla funzione invertibile e alla funzione inversa.

 

A proposito: avete già consultato la scheda di esercizi sulle funzioni invertibili?

 

Esercizi risolti sulla funzione inversa

 

A meno che non sia diversamente specificato, nei seguenti esercizi si richiede di stabilire se ognuna delle funzioni assegnate è invertibile e, in caso affermativo, di calcolare l'espressione analitica della funzione inversa.

 

In alcuni casi si richiede di disegnare il grafico della funzione inversa: se avete letto la lezione correlata saprete di sicuro che ciò non richiede, in alcun modo, di saper effettuare lo studio di funzione. ;)

 

I)

 

\\ f(x)=\frac{2x-1}{3}\\ \\ f(x)=1+\log{(3x)}\\ \\ f(x)=\frac{x+1}{x-1}

 

II) f(x)=x^3+3

 

III) f(x)=\frac{4}{x+2}

 

IV) f(x)=\frac{5x-1}{x+1}

 

V) f(x)=\frac{2x+6}{x-3}

 

VI) f(x)=1-e^{x^2}

 

VII) f(x)=e^{x-2}+2

 

VIII) f(x)=4+e^{x-1}

 

IX) f(x)=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{-x^3+5}}

 

X) f(x)=e^{2x}-e^x-2

 

XI) f(x)=\sqrt{\frac{x}{x^2-1}}

 

XII) f(x)=2^{\sqrt{x}-3}

 

XIII) f(x)=\frac{1-e^{x}}{1+e^{x}}

 

XIV) f(x)=\log_2{\left(\frac{\pi}{3}-\arccos{(3^x-2)}\right)}

 

XV) Data la funzione y=2\cos(3x)+2, indica un intervallo in cui f è invertibile e trova l'espressione analitica dell'inversa.

 

XVI) Provare che la funzione f(x)=\tan(x) definita in [0,\pi)-\left\{\frac{\pi}{2}\right\} è invertibile e disegnare il grafico della sua inversa. Come si può esprimere la funzione inversa in termini di arcotangente?

 

XVII) f(x)=\frac{\sqrt{x^2-2x-3}}{2|x|}

 

XVIII) Stabilire l'intervallo massimale che rende la seguente funzione invertibile, disegnandone il grafico, e scrivere l'espressione della funzione inversa e disegnarne il grafico.

 

f(x)=\sqrt{1-|x|+|x-1|}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio sulla funzione inversa nel caso di 3 funzioni

 

II) Determinare l'inversa di una funzione cubica

 

III) Esercizio sull'inversa di una funzione razionale

 

IV) Calcolare la funzione inversa di una funzione razionale

 

V) Esercizio sul calcolo della funzione inversa di una funzione fratta e sulla rappresentazione grafica

 

VI) Determinare l'inversa di una funzione esponenziale

 

VII) Esercizio sull'inversa di una funzione somma con esponenziale

 

VIII) Determinare il dominio dell'inversa di una funzione

 

IX) Calcolare la funzione inversa di una funzione fratta con radice

 

X) Calcolare la funzione inversa su un intervallo

 

XI) Calcolare la funzione inversa di un'irrazionale, se si può

 

XII) Esercizio sull'inversa di una funzione esponenziale con radice

 

XIII) Trovare la funzione inversa di una fratta con esponenziali

 

XIV) Determinare l'immagine con l'inversa di una funzione

 

XV) Esercizio su funzione inversa e intervallo in cui la funzione è invertibile

 

XVI) Invertire la funzione tangente su un insieme e disegnarne il grafico

 

XVII) Esercizio impegnativo sull'inversa di una funzione fratta irrazionale

 

XVIII) Intervallo massimale per invertire una funzione

 

 

Lezione correlata

 

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