Esercizi risolti immagine di una funzione

In quest'ultima scheda di esercizi svolti sull'immagine di una funzione vogliamo tornare sulla questione del calcolo dell'immagine, della quale ci siamo già occupati nella scheda di esercizi su codominio e immagine.

Nella prima scheda abbiamo proposto una serie di esercizi che richiedono di calcolare l'immagine appellandosi unicamente alla definizione e a pochi, semplici metodi di base. In realtà in Analisi 1 esistono tantissimi metodi più o meno avanzati per determinare l'immagine di una funzione: tutto dipende dal bagaglio di prerequisiti e di concetti su cui ci si può appoggiare.

In questa scheda vi proponiamo una selezione di esercizi intermedi che richiedono le nozioni trattate nelle lezioni sulle funzioni. A titolo puramente informativo sappiate che, nel corso degli studi, il quadro dei metodi si completa quando si affronta la procedura per lo studio di funzione.

Esercizi risolti su codominio e immagine delle funzioni

I) Utilizzare le trasformazioni geometriche per rappresentare il grafico intuitivo della funzione con valore assoluto

f(x) = |x|+1

e dedurne l'insieme immagine.

II) Tracciare il grafico della funzione polinomiale

f(x) = 4−x^2

e determinare l'immagine di f(x).

III) Rappresentare il grafico intuitivo della funzione con valore assoluto

f(x) = |(x+3)^3−3|+3

e dedurne l'insieme immagine.

IV) Dopo aver tracciato il grafico della funzione irrazionale

f(x) = √(|x+1|)−3

avvalendosi delle regole sul grafico intuitivo, ricavare l'immagine della funzione.

V) Tracciare il grafico di

y = 2sin(|x|+3)−4

con le regole del grafico intuitivo e dedurne l'insieme immagine.

VI) Calcolare l'immagine della funzione irrazionale

f(x) = √(x^2+4)

VII) Calcolare l'immagine dell'intervallo A = (1,3) mediante la funzione irrazionale

f(x) = √(1+(1)/(x)) 

tenendo conto delle proprietà delle funzioni elementari coinvolte.

VIII) Calcolare l'immagine della funzione irrazionale

f(x) = √(16−x^2)+5

tenendo conto che le funzioni coinvolte mandano intervalli in intervalli.

IX) Calcolare l'immagine dell'intervallo A = [(π)/(6), (π)/(3)] mediante la funzione goniometrica

f(x) = 2√(3)cos(x)

avvalendosi delle proprietà di cui gode la funzione coseno.

X) Determinare l'immagine dell'intervallo C = (0,(π)/(6)) mediante la funzione goniometrica lineare in seno e coseno

f(x) = 3√(3)sin(x)+3cos(x)

sfruttando le proprietà elementari di seno e coseno.

XI) Sfruttare le proprietà delle funzioni elementari per determinare l'immagine della funzione

f(x) = ((1)/(2))^(2sin(x)−3)+1

XII) Determinare l'immagine della funzione

g(x) = ln(6x+3)

sfruttando la nozione di funzione inversa.

XIII) Calcolare l'immagine dell'intervallo C = [−3,−2] mediante la funzione

f(x) = log_((1)/(2))((x^2+1)/(5))

sfruttando le proprietà e i grafici delle funzioni elementari.

XIV) Calcolare l'immagine della funzione

f(x) = arctan(sin(x))

mediante la definizione di immagine.

XV) Calcolare l'immagine dell'insieme A = (1,+∞) mediante la funzione

f(x) = √(x^2+4x)

sfruttando la definizione di immagine.

XVI) Data la funzione

f(x) = a· arcsin(x+b)

determinare i parametri reali a, b in modo che f abbia come dominio [0,2] e come immagine [−(1)/(2),(1)/(2)].

XVII) Data la funzione

y = a+b arcsin(c(x+d))

con b,c > 0, determinare i parametri a, b, c, d in modo che abbia dominio [−(1)/(2),(11)/(2)] e immagine [0;2π].

Svolgimenti e soluzioni

I) Esercizio sull'immagine di una funzione con modulo

II) Esercizio immagine di una funzione polinomiale quadratica

III) Immagine di una funzione con potenza e valore assoluto

IV) Esercizio immagine di una funzione con radice

V) Immagine di una funzione con seno e valore assoluto

VI) Immagine di una funzione irrazionale

VII) Immagine di una funzione con radice e rapporto

VIII) Calcolare l'immagine di una funzione con radice

IX) Immagine di un intervallo mediante una funzione trigonometrica

X) Immagine di un intervallo con funzione trigonometrica lineare

XI) Esercizio sull'immagine di una funzione con esponenziale e seno

XII) Immagine di una funzione con la funzione inversa

XIII) Esercizio immagine di una funzione logaritmica

XIV) Esercizio sull'immagine di una funzione composta con arcotangente

XV) Immagine di un intervallo illimitato mediante una funzione razionale

XVI) Esercizio su dominio e immagine di una funzione parametrica

XVII) Esercizio su dominio e immagine di una funzione con due parametri

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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