Esercizi risolti sul periodo delle funzioni

In questa pagina vi proponiamo una raccolta di esercizi risolti sul periodo delle funzioni e sulle funzioni periodiche: a meno che non sia diversamente indicato, la consegna degli esercizi che trovi qui sotto prevede di calcolare il periodo di alcune funzioni, prevalentemente di natura trigonometrica.

 

A livello di teoria, il punto di partenza è la lezione dedicata alla nozione di funzione periodica. Oltre ad essa vi consigliamo di ripassare, nel caso servisse, la lezione sul periodo di funzioni trigonometriche e più in generale le formule di Trigonometria.

 

Per completezza vi segnialamo un interessante approfondimento, del tutto facoltativo e rivolto esclusivamente agli studenti universitari, relativo alle operazioni tra funzioni periodiche.

 

Esercizi risolti sul calcolo del periodo

 

I) Calcolare il periodo della funzione goniometrica

 

f(x)=\sin\left(2 x+1\right)

 

utilizzando la definizione di funzione periodica.

 

II) Calcolare il periodo della funzione trigonometrica con seno

 

y=\sin{\left(\frac{2}{3}x-\pi\right)}

 

III) Utilizzare la definizione di funzione periodica per calcolare il periodo della funzione goniometrica con coseno

 

f(x)=2\cos\left(\frac{3x+2}{2}\right)

 

IV) Calcolare il periodo della seguente funzione goniometrica

 

y=3\cos(2x+15^\circ)

 

V) Determinare il periodo della funzione

 

f(x)=3\tan\left(\frac{2x}{3}\right)-1

 

avvalendosi della definizione di funzione periodica.

 

VI) Calcolare il periodo della funzione con tangente

 

f(x)=\tan(60^\circ+2x)

 

mediante la definizione di funzione periodica.

 

VII) Mostrare che la funzione con cotangente

 

f(x)=2\cot\left(\frac{x}{2}+1\right)

 

è una funzione periodica calcolandone esplicitamente il periodo.

 

VIII) Utilizzare la definizione di funzione periodica per esplicitare il periodo della funzione con secante

 

f(x)=3\sec\left(\pi x\right)

 

IX) Calcolare il periodo della funzione

 

f(x)=\sin^2\left(2x\right)

 

utilizzando la definizione di funzione periodica.

 

X) Determinare il periodo della funzione con valore assoluto e coseno

 

f(x)=\left|\cos\left(\frac{3x}{4}\right)\right|

 

utilizzando la definizione di funzione periodica.

 

XI) Dimostrare che la funzione con arcotangente

 

f(x)=\arctan\left(\left|\cos\left(\frac{3x}{2}\right)\right|\right)

 

è una funzione periodica sfruttando la definizione di periodo.

 

XII) Calcolare il periodo della funzione sinusoidale

 

f(x)=2\sin\left(-\frac{3x+\pi}{2}\right)

 

utilizzando, se possibile, le regole relative al periodo di funzioni trigonometriche.

 

XIII) Calcolare il periodo della funzione trigonometrica

 

f(x)=2\cos\left(\frac{2x}{3}\right)+3

 

Suggerimento: utilizzare le regole per il calcolo del periodo.

 

XIV) Avvalersi delle regole sul calcolo del periodo per determinare quello della funzione goniometrica con la tangente

 

f(x)=\tan\left(\frac{3-2x}{5}\right)

 

XV) Qual è il periodo della seguente somma tra funzioni trigonometriche?

 

f(x)=\sin(5x)+3\cos(2x)

 

XVI) Dire se il prodotto delle seguenti funzioni periodiche è a sua volta una funzione periodica determinandone il periodo

 

f(x)=\tan\left(\frac{2}{3}x\right)\cdot\cos\left(4x\right)

 

XVII) Data la funzione lineare in seno e coseno

 

f(x)=2\sqrt{3}\sin\left(\frac{3}{2}x\right)-2\cos\left(\frac{3}{2}x\right)

 

dimostrare che è una funzione periodica determinandone il periodo.

 

XVIII) Data la funzione

 

f(x)=\sqrt{3}\sin{\left(4x\right)}+\cos{\left(2x\right)}

 

a) Determinare il periodo di f(x).

 

b) Verificare che |f(x)|=2 per x=\frac{\pi}{3}.

 

c) Scrivere l'espressione della funzione nella forma:

 

y=A\cos{\left(2x\right)}(B\sin{\left(2x\right)+C)}

 

d) Stabilire se i punti di ascissa x=\frac{\pi}{4}\ \mbox{e} \ x=\frac{5}{2}\pi sono punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse x.

 

XIX) Dimostrare che il seguente prodotto tra la funzione seno e la funzione coseno è una funzione periodica valutandone il periodo

 

f(x)=4\sin(2x)\cos(2x)

 

XX) Calcolare il periodo della seguente funzione trigonometrica

 

f(x)=\sin\left(\frac{2}{5}x\right)+\sin\left(\frac{x}{2}\right)+2\tan\left(\frac{x}{2}\right)

 

XXI) Dimostrare che 

 

f(x)=\sin\left(\frac{5x}{2}\right)+\cos\left(\frac{5x}{3}\right)+\tan\left(\frac{5x}{4}\right)

 

è una funzione periodica determinandone esplicitamente il periodo.

 

XXII) Calcolare il periodo della funzione

 

f(x)=\sin(x)-\frac{1}{\tan(x)}

 

XXIII) Determinare, se possibile, il periodo della funzione

 

f(x)=\cos^2(4x)+\tan(8x)

 

XXIV) Determinare, se possibile, il periodo della funzione

 

f(x)=\arctan\left(\frac{2+\sin(x)}{2\cos(x)}\right)

 

XXV) Calcolare il periodo della funzione

 

y=\cos(\omega x+20^{\circ})

 

al variare del parametro reale positivo \omega.

 

XXVI) Determinare gli eventuali valori del parametro reale \beta di modo che

 

f(x)=2\sin\left(\frac{1}{\beta}x\right)

 

sia una funzione periodica con periodo T=\frac{\pi}{3}.

 

XXVII) Per quali valori del parametro reale \alpha

 

f(x)=2\sin((\alpha^2-1)x)\cos((\alpha^2-1)x)

 

è una funzione periodica di periodo T=\frac{\pi}{4}?

 

XXVIII) Sia data la funzione

 

f(x)=\cos^2((\alpha+1)x)-\cos^4((\alpha+1)x)\ \ \ \mbox{con} \ \alpha\in\mathbb{R}

 

Per quali valori del parametro reale \alpha il periodo di f(x) è T=\frac{2\pi}{3}?

 

XXIX) Data la funzione

 

 y=\cos{\left(x\right)}+\sin{\left(a x\right)}

 

verificare che è periodica solo se a appartiene ai numeri razionali.

 

XXX) Sia f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} una funzione continua e periodica con periodo T>0. Provare che esiste x_0\in[0,T] tale che

 

f\left(x_{0}+\frac{T}{2}\right)=f(x_0)

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Periodo di una funzione goniometrica con seno

 

II) Calcolare il periodo di una funzione trigonometrica con la tangente

 

III) Periodo di una funzione trigonometrica con coseno

 

IV) Esercizio sul periodo di una funzione goniometrica

 

V) Periodo di una funzione goniometrica con tangente

 

VI) Altro esercizio: determinare il periodo di una funzione trigonometrica con la tangente

 

VII) Periodo di una funzione trigonometrica con cotangente

 

VIII) Periodo di una funzione trigonometrica con secante

 

IX) Esercizio sul periodo di una funzione con seno al quadrato 

 

X) Esercizio sul periodo di una funzione con valore assoluto e coseno

 

XI) Esercizio sul periodo di una funzione con arcotangente, modulo e coseno

 

XII) Esercizio sul periodo di una funzione trigonometrica

 

XIII) Esercizio sulle regole per il periodo di funzioni goniometriche

 

XIV) Esercizio sul periodo della tangente con le regole trigonometriche 

 

XV) Periodo della somma di due funzioni trigonometriche

 

XVI) Periodo del prodotto di due funzioni trigonometriche

 

XVII) Periodo di una funzione con differenza tra seno e coseno

 

XVIII) Determinare il periodo di una funzione somma di funzioni goniometriche

 

XIX) Periodo di una funzione prodotto tra seno e coseno

 

XX) Calcolare il periodo di una funzione trigonometrica composta

 

XXI) Periodo di una funzione con seno, coseno e tangente

 

XXII) Esercizio sul periodo di una somma di funzioni trigonometriche

 

XXIII) Periodo di una funzione con somma e potenze di coseno e tangente

 

XXIV) Considerazioni sul periodo di una funzione trigonometrica per semplificare lo studio

 

XXV) Trovare il periodo di una funzione trigonometrica con il coseno

 

XXVI) Esercizio sul periodo di una funzione con parametro

 

XXVII) Periodo di una funzione parametrica con seno e coseno

 

XXVIII) Esercizio sul periodo di una funzione parametrica

 

XXIX) Valori di un parametro per cui una funzione è periodica

 

XXX) Esercizio teorico sulle funzioni periodiche

 

 

Lezione correlata

 

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