Esercizi risolti su funzioni biunivoche

Benvenuti nella scheda di esercizi risolti sulle funzioni biunivoche. La richiesta che accomuna gli esercizi elencati qui di seguito prevede di stabilire se un'assegnata funzione è biunivoca oppure no. In caso di dubbi sulla teoria vi rimandiamo alle lezioni correlate:

 

- definizioni di funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca;

 

- come stabilire se una funzione è iniettiva;

 

- come stabilire se una funzione è suriettiva.

 

Nota: ci sono anche altre tre schede che potrebbero interessarti: esercizi risolti sulle funzioni iniettive, esercizi risolti sulle funzioni suriettive ed esercizi risolti sulle funzioni invertibili.

 

Vi raccomandiamo di non sottovalutare questi esercizi perché sono propedeutici per le nozioni di funzione invertibile e di funzione inversa. ;)

 
 
 

Esercizi risolti sulle funzioni biunivoche

 

I) Stabilire se la funzione f(x)=x^3-1 è iniettiva e/o suriettiva, e di conseguenza se è biiettiva.

 

II) Individuare il dominio della funzione f(x)=\ln(x) e stabilire se la funzione è iniettiva, suriettiva o biettiva motivando la risposta.

 

III) Date le funzioni

 

\\ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^2\\ \\ g:[-3,-1]\to\mathbb{R},\ g(x)=x^2

 

stabilire se essa sono biunivoche o se sono iniettive o suriettive.

 

IV) Specificare quali tra le funzioni proposte sono iniettive, suriettive, biunivoche.

 

Esercizio funzione biunivoca dal grafico - 2

 

Date le seguenti funzioni, indicare quale sottoinsieme di \mathbb{R} si deve prendere come codominio per far sì che la funzione sia suriettiva.

 

Esercizio funzione biunivoca dal grafico - 1

 

V) Stabilire se le seguenti funzioni sono iniettive, suriettive ed eventualmente biunivoche usando il metodo grafico.

 

\\ f:\mathbb{R}^+ \cup \{0\} \to (-\infty,5]\ \mbox{ tale che }\ x\to y=f(x)=-x^2+5\\ \\ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+\cup\{0\}\ \mbox{ tale che }\ x\to y=g(x)=(8x+1)^2

 

VI) Dopo aver calcolato il dominio Dom(f) della funzione razionale fratta

 

f(x)=\frac{3x-1}{2x+5}

 

stabilire se

 

f: Dom(f)\to\mathbb{R}

 

è biettiva, studiandone l'iniettività e la suriettività mediante le relative definizioni.

 

VII) Avvalendosi della definizione, stabilire se la funzione f:\mathbb{R}\ \to \ [-3,+\infty) definita da f(x)=|x+3|-3 è biettiva.

 

VIII) Calcolare il dominio della funzione irrazionale

 

f(x)=\sqrt{\frac{1-x}{x}}

 

e stabilire se f:Dom(f)\to\mathbb{R} è una funzione biunivoca avvalendosi della definizione.

 

IX) Stabilire se la funzione f:\mathbb{R}\to (0,+\infty) definita da f(x)=10^{|x+3|} è iniettiva, suriettiva, biunivoca.

 

X) Dimostrare che

 

f(x)=e^{\frac{x}{x+1}}

 

è una funzione biettiva utilizzando la definizione.

 

XI) Dopo aver calcolato il dominio della funzione

 

f(x)=\frac{\ln(x)}{1-\ln(x)}

 

stabilire se f: Dom(f)\to\mathbb{R} è una funzione biettiva.

 

XII) Dimostrare che la funzione

 

f(x)=\sqrt{\ln\left(\frac{2x-1}{x+3}\right)}

 

è iniettiva e/o suriettiva e dunque se è biunivoca.

 

XIII) Stabilire se la funzione

 

f(x)=\arctan(x^2+1)

 

è biettiva avvalendosi della definizione.

 

XIV) Mostrare la funzione

 

f(x)=\arctan\left(\frac{x+1}{x}\right)

 

è una funzione biettiva, avvalendosi delle opportune definizioni.

 

XV) Proporre un esempio di funzione iniettiva in un intervallo la cui immagine non è un intervallo.

 

XVI) Determinare i possibili valori dei parametri reali h,k\in\mathbb{R} per i quali la seguente funzione è biiettiva

 

f(x)=\begin{cases}-x+h&\mbox{ se }x\ge 0\\ -2x+k&\mbox{ se }x<0\end{cases}

 

XVII) Dimostrare la biettività della funzione f:[0,4]\to[-1,3] definita da f(x)=\sqrt{16-x^2}-1 utilizzando la definizione di funzione biettiva.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Semplice esercizio su funzione cubica iniettiva e suriettiva

 

II) Esercizio su suriettività e iniettività della funzione logaritmo

 

III) Stabilire se una funzione è iniettiva e suriettiva su un intervallo

 

IV) Capire se delle funzioni sono suriettive e-o iniettive dal grafico

 

V) Esercizio con due funzioni e dire se sono suriettive e iniettive col metodo grafico

 

VI) Esercizio sullo studio della biettività di una funzione razionale fratta

 

VII) Esercizio sulla biettività di una funzione con valore assoluto

 

VIII) Esercizio sulla biettività di una funzione irrazionale fratta

 

IX) Funzione iniettiva e-o suriettiva esponenziale con valore assoluto

 

X) Esercizio sulla biettività di una funzione esponenziale con esponente razionale

 

XI) Esercizio sulla biunivocità di una funzione fratta con logaritmo

 

XII) Iniettività e suriettività di una funzione con radice e logaritmo

 

XIII) Biettività di una funzione goniometrica con arcotangente

 

XIV) Esercizio sulla biettività di una funzione con arcotangente

 

XV) Proporre un esempio di funzione iniettiva che soddisfi certe condizioni

 

XVI) Funzione con due parametri in modo che sia iniettiva e suriettiva

 

XVII) Sulla biettività di una funzione irrazionale con dominio e immagine fissati 

 

 

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