Esercizi risolti sulle funzioni iniettive

In questa scheda potete mettervi alla prova con una selezione di esercizi svolti sulle funzioni iniettive e di esercizi risolti sull'iniettività, utili per digerire al meglio la definizione di funzione iniettiva e per prendere confidenza con i metodi per lo studio dell'iniettività delle funzioni.

 

Nel caso servissero sappiate che qui su YM c'è anche una scheda di esercizi proposti sulle funzioni iniettive. A seguire invece potrete cimentarvi con gli esercizi svolti sulle funzioni biunivoche.

 
 
 

Esercizi risolti sulle funzioni iniettive e sull'iniettività

 

Negli esercizi che seguono si richiede di stabilire se le funzioni assegnate sono iniettive sul proprio dominio naturale o, all'occorrenza, su eventuali restrizioni contenute nel dominio. In linea di massima si richiede di applicare il metodo analitico.

 

1.I) f(x)=2x-1\ \ \ ;\ \ \ f(x)=x^2-1

 

1.II) f(x)=x^2+4x-5

 

1.III) f(x)=x+\frac{1}{x}

 

1.IV) f(x)=\sqrt{x^2-1}

 

1.V) f(x)=|x-1|+1

 

1.VI) f(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}

 

1.VII) f(x)=2^{\frac{x+1}{x-1}}

 

1.VIII) f(x)=\ln(x^2-2x)

 

1.IX) f(x)=\cos(4x)

 

1.X) f(x)=\arcsin\left(\frac{2x+1}{x-2}\right)

 

1.XI) Proporre un esempio di funzione iniettiva ma non suriettiva.

 

1.XII) f(x)=\ln\left(\arctan(2x^2-8)\right)

 

1.XIII) y=x^2+2x+3 sul dominio naturale \mathbb{R} e sull'intervallo \left[-\frac{1}{2},+\infty\right).

 

1.XIV) Stabilire per quali valori di b>0 la seguente funzione è iniettiva sull'intervallo [0,b]

 

f(x)=\sin(3x)

 

1.XV) Individuare una funzione iniettiva tale da avere dominio Dom(f)=\mathbb{R}-\{0,3\} e immagine Im(f)=\mathbb{R}-\{0\}.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

1.I) Esercizio e osservazioni su funzione iniettiva

 

1.II) Non iniettività di una parabola con metodo analitico

 

1.III) Esercizio: dimostrare che una funzione non è iniettiva

 

1.IV) Stabilire se una funzione irrazionale è iniettiva

 

1.V) Iniettività di una funzione con valore assoluto

 

1.VI) Esercizio di controllo su funzione iniettiva

 

1.VII) Iniettività di una funzione esponenziale

 

1.VIII) Esercizio iniettività di una funzione logaritmica

 

1.IX) Esercizio iniettività di una funzione con coseno

 

1.X) Iniettività di una funzione con arcoseno

 

1.XI) Funzione iniettiva ma non suriettiva

 

1.XII) Iniettività di una funzione con logaritmo e arcotangente

 

1.XIII) Esercizio su iniettività di una funzione su intervalli diversi

 

1.XIV) Trovare gli intervalli su cui una funzione è iniettiva

 

1.XV) Trovare una funzione iniettiva noti dominio e immagine

 

Esercizi risolti sul significato geometrico dell'iniettività

 

Stabilire se le funzioni proposte sono iniettive oppure no, osservandone il grafico e motivando adeguatamente la risposta.

 

2.I)

 

Esercizio funzione iniettiva 1

 

2.II)

 

Esercizio funzione iniettiva 2

 

2.III)

 

Esercizio funzione iniettiva 3

 

2.IV)

 

Esercizio funzione iniettiva 1

 

2.V)

 

Esercizio funzione iniettiva 5

 

2.VI)

 

Esercizio funzione iniettiva 6

 

2.VII)

 

Esercizio funzione iniettiva 7

 

2.VIII)

 

Esercizio funzione iniettiva 8

 

2.IX)

 

Esercizio funzione iniettiva 9

 

2.X)

 

Esercizio funzione iniettiva 10

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

2.I) La funzione è iniettiva perché ogni retta parallela all'asse delle ascisse interseca il grafico al più una volta.

 

2.II) La funzione non è iniettiva. La retta parallela all'asse delle ascisse y=1 interseca il grafico in tutti i punti di ascissa compresa tra -2 e 2.

 

2.III) La funzione non è iniettiva. La retta parallela all'asse delle ascisse y=-1, ad esempio, interseca il grafico in due punti distinti di ascisse x=-2\ \mbox{e}\ x=3.

 

2.IV) La funzione è iniettiva, infatti ogni retta parallela all'asse delle ascisse interseca il grafico al più una volta sola. Osserviamo che la retta y=0 non interseca il grafico, ma ciò non inficia la definizione di funzione iniettiva. Nota: il grafico della funzione è un'iperbole equilatera

 

2.V) La funzione non è iniettiva. Osserviamo ad esempio che la retta y=0 interseca il grafico in tre punti distinti: (-\pi, 0),\ (0,0),\ (\pi, 0).

 

2.VI) La funzione non è iniettiva. La retta y=0, ad esempio, interseca il grafico in due punti distinti (-2, 0)\ \mbox{e} \ (2, 0). Nota: è il grafico di una parabola convessa con vertice di coordinate V\left(0, -3\right).

 

2.VII) La funzione non è iniettiva. La retta di equazione y=1 interseca il grafico in due punti distinti, di coordinate (0,1) \ \mbox{e} \ (2,1).

 

2.VIII) La funzione è iniettiva. Ogni retta parallela all'asse delle ascisse interseca il grafico al più una volta sola.

 

2.IX) La funzione è iniettiva. Ogni retta parallela all'asse delle ascisse interseca il grafico al più una sola volta. Osserviamo che tutte le rette di equazione y=k con -3< k\le -1 non intersecano affatto il grafico, ma ciò non inficia la definizione di funzione iniettiva.

 

2.X) La funzione non è iniettiva. La retta y=1 ad esempio interseca il grafico della funzione nei punti \left(-\frac{3}{2},1\right) \ \mbox{e} \ (1,1).

 

 

Lezione correlata


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