Problemi di massimo e minimo in Geometria

In questa scheda speciale vi proponiamo una carrellata di problemi di massimo e minimi di tipo geometrico (e non solo).

Si tratta di una raccolta di esercizi e problemi risolti rivolta per lo più agli studenti delle Scuole Superiori: i problemi che seguono ricorrono infatti spesso e volentieri nella seconda prova di Matematica all'esame di Maturità. ;)

Ovviamente prima di procedere sarebbe opportuno mettersi alla prova con gli esercizi svolti su massimi e minimi. Fatto? Se sì, cominciamo. ;)

Problemi di massimo e minimo in Geometria svolti

I) Tra tutti i rettangoli di dato perimetro individua quello con la diagonale minima.

II) Dato triangolo rettangolo in con e , si determini un punto sul lato in modo che sia massima l'area del trapezio rettangolo , dove è la proiezione di sull'ipotenusa è il punto in cui la parallela per al lato interseca .

III) Determinare i rettangoli di massimo e di minimo perimetro tra tutti quelli inscritti nella parte di piano limitata dalla parabola e dell'asse .

IV) Su un cartoncino rettangolare si deve applicare una foto di 300 cm quadrati con il margine superiore e inferiore di 3 cm e i margini laterali di 4 cm. Che dimensioni deve avere il cartone di area minima che serve allo scopo?

V) Individuare il quadrato di superficie minima inscritto in un quadrato di lato .

VI) Un triangolo isoscele e rettangolo ruota intorno a una retta del suo piano passante per il vertice dell'angolo retto senza tagliare il triangolo: in quale posizione del triangolo si avrà il massimo volume del solido generato?

VII) Scrivere l'equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all'asse che passa per il punto e ha il fuoco nel punto . Siano e i punti in comune alle due parabole che risolvono il problema. Sia D un punto dell'arco di una delle due parabole e un un punto, avente la stessa ascissa di , sull'arco dell'altra parabola. Fra tutti i segmenti che si possono così costruire, quanto misura quello che ha la massima lunghezza?

VIII) In un sistema di assi cartesiani ortogonali è data la parabola di equazione . Detto il vertice della parabola, determinare sull'arco un punto in modo che sia massima l'area del triangolo .

IX) Inscrivere in un rombo di diagonali un rettangolo di area massima.

X) Considerata la parabola e la sua simmetrica rispetto all'asse , inscrivere nella regione di piano limitata dalle due parabole e dall'asse il rettangolo di area massima.

XI) In una semisfera di raggio inscrivere un tronco di cono avente per base maggiore il cerchio massimo della semisfera e tale da avere la massima superficie laterale possibile.

XII) Una finestra ha la forma di un rettangolo sormontato da una semicirconferenza. Se il perimetro totale è 10 m, quali devono essere le dimensioni del rettangolo affinché entri la maggior quantità di luce?

XIII) È data la parabola . Tra tutti i triangoli, aventi un vertice nell'origine e gli altri due in punti della curva aventi la stessa ordinata positiva, trovare quello di area massima.

XIV) Individua due numeri la cui somma è 20 e per i quali la somma dei quadrati è minima.

XV) In una ditta i costi per la produzione sono suddivisi in costi fissi (1000 euro) e costi variabili secondo la quantità q di merce prodotta. I costi variabili seguono la legge . Il ricavo rispetto alla merce venduta è dato da . Supponendo che la quantità di merce prodotta e la quantità di merce venduta siano uguali, trova il quantitativo di merce per il massimo guadagno.

XVI) [Dalla seconda prova di Matematica del 2009]

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale , si consideri la funzione definita da , con parametro reale.

1) Si dica come varia il grafico di al variare di ( positivo, negativo o nullo).

2) Sia e il suo grafico. Si dimostri che e la retta d'equazione hanno un solo punto in comune. Si determini l'ascissa di approssimandola a meno di 0,1 con un metodo iterativo di calcolo.

3) Sia la regione finita del primo quadrante delimitata da e dal grafico della funzione inversa di . Si calcoli l'area di .

4) La regione è la base di un solido le cui sezioni con piani perpendicolari alla bisettrice del primo quadrante sono tutte rettangoli di altezza 12. Si determini la sezione di area massima. Si calcoli il volume di .

Svolgimenti e soluzioni

I) Problema con rettangoli di diagonale minima con perimetro fissato

II) Problema di massimo e minimo sull'area di un trapezio rettangolo

III) Problema sul perimetro massimo e minimo dei rettangoli inscritti in una parabola

IV) Problema algebrico di massimi e minimi sul calcolo dell'area minima

V) Problema con quadrato di superficie minima inscritto in un altro quadrato

VI) Problema sul volume massimo di un solido di rotazione con triangolo rettangolo

VII) Problema sulla massima lunghezza di un segmento con due parabole

VIII) Problema area massima e minima di un triangolo costruito su un arco di parabola

IX) Problema rettangolo di area massima in un rombo

X) Problema con rettangolo di area massima inscritto nella regione limitata da due parabole

XI) Problema massima superficie laterale di un tronco di cono inscritto in una sfera