Esercizi limiti con la definizione (limite finito per x tendente a un valore finito)

Usando la definizione presentata nella lezione sulla definizione di limite finito per x tendente ad un valore finito, in questa scheda vi chiediamo di risolvere i seguenti esercizi sulla verifica dei limiti con la definizione.

 

Nota bene: nella pratica non sarà questo il metodo di calcolo dei limiti, quindi niente paura. Si tratta di una tipologia di esercizi volti a consolidare la teoria e la definizione di limite mediante epsilon-delta. ;) In fondo trovate le soluzioni, e il primo esercizio è svolto in modo che possiate trarne le linee guida per il procedimento.

 

Ci sono altre tre schede di esercizi dedicate alla verifica dei limiti, oltre a due schede di esercizi svolti: trovate tutto nella sezione dedicata agli esercizi sui limiti.

 

Esercizi sulla verifica dei limiti con la definizione (limite finito per x tendente a un valore finito)


0) Verificare che

 

\lim_{x\to 2}{\left(\sqrt{8x}-4\right)}=0

 

Svolgimento: fissiamo \varepsilon>0, che intenderemo come un valore generico. Vogliamo vedere se riusciamo a trovare un \delta dipendente da \varepsilon e tale da soddisfare la definizione di limite.

 

A tal proposito imponiamo la disuguaglianza

 

\left|f(x)-0\right|<\varepsilon

 

ossia

 

\left|\sqrt{8x}-4\right|<\varepsilon

 

Riscriviamo la disequazione con il valore assoluto come una doppia disequazione

 

-\varepsilon<\sqrt{8x}-4<\varepsilon

 

Sommiamo +4 a entrambi i membri ed eleviamo a quadrato. Otteniamo

 

(4-\varepsilon)^2<8x<(4+\varepsilon)^2

 

Ora dividiamo tutti i membri della disequazione per 8, ricavando

 

\frac{1}{8}(4-\varepsilon)^2<x<\frac{1}{8}(4+\varepsilon)^2

 

Dove vogliamo arrivare? Vogliamo ottenere una disuguaglianza del tipo

 

\left|x-2\right|<\delta

 

con \delta dipendente da \varepsilon. Poiché nel limite x\to 2, sottraiamo -2 ad entrambi i membri dell'ultima disuguaglianza

 

\frac{1}{8}(4-\varepsilon)^2-2<x-2<\frac{1}{8}(4+\varepsilon)^2-2

 

L'occhio clinico porterebbe a concludere che abbiamo trovato l'intervallo di distanze che garantisce la validità della definizione di limite. Non ci credete? Sviluppiamo i quadrati con la regola per il quadrato di un binomio

 

\frac{1}{8}(16-8\varepsilon+\varepsilon^2)-2<x-2<\frac{1}{8}(16+8\varepsilon+\varepsilon^2)-2

 

da cui

 

\\ 2-\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}-2<x-2<2+\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}-2\\ \\ -\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}<x-2<\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}

 

Dato che \varepsilon>0 e dato che si tratta di una quantità arbitraria piccola (sicuramente minore di 1), sappiamo che \varepsilon^2<\varepsilon, quindi possiamo ad esempio scrivere la seguente catena di disuguaglianze

 

-2\varepsilon<-\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}<x-2<\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}<2\varepsilon

 

da cui abbiamo ricavato

 

-2\varepsilon<x-2<2\varepsilon

 

che riscritta con il valore assoluto equivale a

 

|x-2|<2\varepsilon

 

Abbiamo così dimostrato che \delta=2\varepsilon è un valore dipendente da \varepsilon che soddisfa la definizione di limite finito per x tendente al valore finito considerato.

 

 

Esercizi proposti sulla definizione di limite finito per x tendente a un valore finito

 

Attenzione: se la funzione non è definita nel punto cui tende la x, è necessario specificare che la disuguaglianza ottenuta non vale nel punto. In altri termini ricordatevi che la definizione di limite deve valere almeno in un intorno bucato del punto cui tende la x.

 

I) Verificare che \lim_{x\to 2}{\left(\frac{x^2+x-6}{x-2}\right)}=5

 

II) Verificare che \lim_{x\to 4}{[\log_{2}{(x)}]}=2

 

III) Verificare che \lim_{x\to 1}{(x^3+16)}=17

 

IV) Verificare che \lim_{x\to -2}{\left(2\cdot 3^{x+2}\right)}=2

 

V) Verificare che \lim_{x\to \frac{1}{3}}{\left(\sqrt{3x}-5\right)}=-4

 

VI) Verificare che \lim_{x\to 0}{\left(\frac{9^x -1}{3^x-1}\right)}=2

 

VII) Verificare che \lim_{x\to 2}{(x^2-4x+4)}=0 [Suggerimento: può essere utile applicare il prodotto notevole per scomporre il quadrato di un binomio]

 

 

Soluzioni

 

Nelle soluzioni riportiamo le più semplici disuguaglianze che verificano i corrispondenti limiti (e tanto basterebbe per considerare gli esercizi correttamente svolti). Tali doppie disuguaglianze possono essere ulteriormente raffinate in modo da ottenere un intorno simmetrico; a tal proposito è sufficiente servirsi del minimo tra i due valori che limitano x-x_0, per poi esprimere la doppia disuguaglianza mediante il valore assoluto.

 

I) Comunque si sceglie \varepsilon>0 basta prendere \delta=\varepsilon.

 

II) Comunque si sceglie \varepsilon>0 basta prendere

 

4\left(2^{-\varepsilon}-1\right)<x-4<4\left(2^{\varepsilon}-1\right)

 

III) Comunque si sceglie \varepsilon>0 basta prendere

 

\sqrt[3]{1-\varepsilon}-1<x-1<\sqrt[3]{1+\varepsilon}-1

 

IV) Comunque si sceglie \varepsilon>0 basta prendere

 

\log_{3}{\left(\frac{2-\varepsilon}{2}\right)}<x+2<\log_{3}{\left(\frac{2+\varepsilon}{2}\right)}

 

V) Comunque si sceglie \varepsilon>0 basta prendere

 

\frac{-2\varepsilon+\varepsilon^2}{3}<x-\frac{1}{3}<\frac{+2\varepsilon+\varepsilon^2}{3}

 

VI) Comunque si sceglie \varepsilon>0 basta prendere

 

\log_{3}(1-\varepsilon)<x<\log_{3}(1+\varepsilon)\ \ \ \wedge\ \ \ x\neq 0

 

VII) Comunque si sceglie \varepsilon>0 basta prendere

 

-\sqrt{\varepsilon}<x-2<+\sqrt{\varepsilon}

 

 


 

Nota bene: ci sono anche due schede di esercizi svolti sulla verifica dei limiti; dato che tali schede trattano i vari tipi di limiti, prima di consultarle vi suggeriamo di mettervi alla prova con le altre tre schede di esercizi proposti sulla verifica. Ciascuna di essa tratta infatti uno specifico tipo di limite.

 

In caso di necessità non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di risorse e di esercizi risolti, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata

 

Tags: esercizi di verifica dei limiti con la definizione nel caso di limite finito per x tendente a un valore finito, con soluzioni e metodo di risoluzione.

 

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