Esercizi parte principale con Taylor

Qui di seguito potete consultare una breve raccolta di esercizi sul calcolo della parte principale di un infinitesimo con Taylor: si tratta di una serie di esercizi propedeutici per il calcolo dei limiti con Taylor che si rivolgono ai soli studenti universitari.

 

La lezione di riferimento è - tirate a indovinare? :) - quella relativa alla parte principale con Taylor. Tenete conto che in questo contesto si fa un abbondante uso delle equivalenze asintotiche in modo formale, per cui se non l'avete già fatto potrebbe giovarvi la lettura degli esercizi svolti sulle equivalenze asintotiche.

 
 
 

Esercizi svolti sulla parte principale con Taylor

 

Vediamo di fare il punto della situazione. Avete presente le lezioni sulle gerarchie di infinitesimo? In quel frangente abbiamo introdotto la nozione di parte principale di un infinitesimo, e abbiamo spiegato come determinare la parte principale di una funzione che converge a zero: un metodo che funziona per qualsiasi esercizio da scuola superiore e per buona parte degli esercizi universitari.

 

All'università però il livello sale e subentra la necessità di calcolare i limiti con Taylor. Ebbene sì, signore e signori, gli sviluppi di Taylor sono fantastici e permettono di fare un sacco di cose in Matematica, tra cui anche il calcolo della parte principale di un infinitesimo. Eccoci giunti al punto: questa scheda di esercizi ha una funzione preparatoria e serve a predisporre i lettori al nocciolo della questione, che è per l'appunto la risoluzione degli esercizi sui limiti con Taylor. ;)

 

Espansione: per chi vuole approfondire, nella categoria di esercizi sulle derivate c'è una scheda di esercizi sull'applicazione degli sviluppi di Taylor in cui vediamo come sfruttare gli sviluppi per ottenere informazioni ancor più dettagliate (vale a dire oltre la parte principale, ad esempio: sviluppare una funzione a meno di un errore o di una imprecisione espressa sotto forma di o-piccolo o di O-grande).

 

 

I) Determinare ordine di infinitesimo e parte principale rispetto a F(x)=x per x che tende a 0 della seguente funzione:

 

f(x)=e^{\cos(x)}-e^\sqrt{x^3+1}

 

II) Utilizzando gli sviluppi di Taylor calcolare l'ordine di infinitesimo di

 

f(x)=\sin(x)-x\cos\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)\ \ \mbox{ per } x\to0

 

III) Determinare la parte principale della funzione polinomiale

 

f(x)=x-4x^2+6x^3-4x^4+x^5 \ \ \ \mbox{ per }x\to 1

 

mediante lo sviluppo di Taylor ad essa associata.

 

IV) Utilizzando gli sviluppi di Taylor, calcolare l'ordine di infinitesimo e la parte principale rispetto alla funzione campione g(x)=x della funzione

 

f(x)=\sin(x)-x\cos\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

V) Usare gli sviluppi di Taylor per determinare la parte principale e l'ordine di infinitesimo associati alla funzione

 

f(x)=e^{\frac{1}{x^2}}-e^{\sin\left(\frac{1}{x^{2}}\right)} \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

 

VI) Calcolare la parte principale della funzione

 

f(x)=\ln(1+x\sin(x))-\arctan(x^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio ordine di infinitesimo e parte principale con Taylor

 

II) Esercizio: sviluppo in serie di Taylor per calcolare la parte principale di una funzione


III) Parte principale di una funzione per x che tende a 1

 

IV) Esercizio sulla parte principale di un infinitesimo con Taylor

 

V) Esercizio parte principale di un infinitesimo con Taylor

 

VI) Parte principale di una funzione con logaritmo e arcotangente

 

 

Lezione correlata


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