Esercizi equivalenze asintotiche

In questa scheda potete consultare una serie di esercizi sulle equivalenze asintotiche, tutti risolti e spiegati nel dettaglio.

 

Gli esercizi svolti sono pensati e si rivolgono unicamente agli studenti universitari. L'argomento viene trattato in modo piuttosto formale ma, cionondimeno, vi invitiamo a non sottovalutarlo poiché si rivelerà essenziale per il prosieguo degli studi (ad esempio: sviluppi di Taylor e risoluzione dei limiti con Taylor).

 

A titolo informativo, nella precedente scheda ci siamo occupati degli esercizi sugli O-grande, mentre nella successiva passiamo agli esercizi sugli o-piccolo. Successivamente entreremo nel vivo dell'azione con la scheda di esercizi sulla parte principale con Taylor. ;)

 

Esercizi risolti sulle equivalenze asintotiche

 

Gli esercizi svolti sulle equivalenze asintotiche si dividono in due gruppi. Nel primo ci soffermiamo sulla definizione di equivalenza asintotica in modo da comprenderne a fondo il significato, e vi proponiamo una serie di stime asintotiche da verificare mediante la definizione stessa. Nel secondo gruppo passiamo invece alla pratica e passiamo agli esercizi che richiedono di determinare un'equivalenza asintotica per ciascuna delle funzioni assegnate.

 

Prima di procedere, attenzione! Se non l'avete già fatto, vi raccomandiamo di leggere la lezione sulle equivalenze asintotiche. Questa scheda si rivolge ai soli studenti universitari perché, come spiegato nella lezione di riferimento, nonostante le stime asintotiche vengano introdotte a partire dai limiti notevoli qui l'approccio utilizzato è il più formale possibile (e rientra nell'ambito dei cosiddetti simboli di Landau).

 

Se siete studenti delle scuole superiori e siete finiti qui per caso, vi rimandiamo all'approccio morbido per lo studio delle equivalenze asintotiche: come usare i limiti notevoli. ;)

 

 

Esercizi sulla definizione di equivalenza asintotica

 

I) Dimostrare mediante la definizione di equivalenza asintotica che

 

\sqrt{x}+x\sim_{x\to 0}\sqrt{x}

 

II) Dimostrare mediante la definizione di equivalenza asintotica la validità della seguente relazione

 

3x + x\ln(x)\sim_{x\to +\infty}x\ln(x)

 

III) Dimostrare che:

 

\sin(x)\sim_{x\to 0}\ln(1+x)

 

IV) Dimostrare la seguente equivalenza asintotica:

 

\ln(1+e^{x})\sim_{x\to +\infty}x

 

V) Dimostrare che

 

\\ \sqrt{4x^2+3}\sim_{x\to -\infty}-2 x

 

VI) Utilizzare la definizione di equivalenza asintotica per verificare la correttezza della seguente stima

 

2x\sin(x)\sim_{x\to 0}\arctan(2x^2)

 

VII) Dimostrare la stima asintotica

 

\sin(x-1)+\sin^2(x-1)\sim_{x\to 1} \ln(x)+\ln^2(x)

 

VIII) Determinare, se esistono, i quali valori del parametro reale \alpha per i quali si  ha

 

x^6+x^9\sim_{x\to 0}x^{\alpha^2+\alpha}

 

IX) Determinare, se esistono, i valori del parametro reale \alpha>0 che realizzano la seguente equivalenza asintotica

 

\frac{\sin(x^{2\alpha})}{x}\sim_{x\to 0^{+}}x^{3\alpha-3}

 

Suggerimento: utilizzare il limite notevole del seno.

 

 

Come costruire le equivalenze asintotiche

 

X) Scrivere la più semplice funzione asintotica associata a

 

f(x)=3x+\frac{x^2}{2} \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XI) Determinare una funzione asintotica associata ad f(x) \ \mbox{ per }x\to 0, dove

 

f(x)=\frac{x^4+x^3}{x+x^3}

 

XII) Determinare una funzione asintoticamente equivalente a

 

f(x)=\frac{2x+x^3}{x+x^2} \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

 

XIII) Costruire una stima asintotica associata alla funzione

 

f(x)=(1+x+x^2)^3 \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

 

XIV) Determinare una stima asintotica associata alla seguente funzione per x\to -\infty

 

f(x)=\ln^3\left(1+e^{x}\right) \ \ \ \mbox{ per }x\to -\infty

 

XV) Utilizzare le stime asintotiche notevoli per scrivere una funzione asintoticamente equivalente ad

 

f(x)=\ln(1+\sqrt{x})\sin(x^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0^{+}

 

XVI) Determinare una funzione asintoticamente equivalente a

 

f(x)=\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right) \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

 

utilizzando le equivalenze asintotiche notevoli.

 

XVII) Determinare una stima asintotica associata alla seguente funzione per x\to +\infty

 

f(x)=\frac{\sin^2\left(\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)} \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

 

XVIII) Determinare una stima asintotica associata alla funzione

 

f(x)=\frac{\sin(x^2)+\ln(x^2)+x}{\ln(e^{x}+1)+\sqrt{x+3}-5} \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

 

XIX) Al variare del parametro reale \alpha>0, determinare una stima asintotica associata alla funzione parametrica

 

f(x)= x\arcsin\left(x^{\frac{\alpha}{2}}\right) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XX) Determinare al variare del parametro \alpha\in\mathbb{R} una stima asintotica associata alla funzione

 

f(x)=[\sqrt{1+x^{\alpha+1}}-1]\ln(1+x^{\alpha}) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0^{+}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Dimostrare equivalenza asintotica con la definizione

 

II) Esercizio equivalenza asintotica per x tendente all'infinito

 

III) Equivalenza asintotica tra seno e logaritmo

 

IV) Equivalenza asintotica all'infinito

 

V) Equivalenza asintotica funzione con radice

 

VI) Equivalenza asintotica tra seno e arcotangente

 

VII) Esercizio equivalenza asintotica e somma di funzioni

 

VIII) Dimostrare equivalenza asintotica con funzione parametrica

 

IX) Equivalenza asintotica e funzione con parametro

 

X) Equivalenza asintotica di un polinomio per x tendente a zero

 

XI) Esercizio: equivalenza asintotica per x tendente a 0

 

XII) Equivalenza asintotica per una funzioen fratta all'infinito

 

XIII) Esercizio: ricavare un'equivalenza asintotica

 

XIV) Equivalenza asintotica per una funzione logaritmica

 

XV) Equivalenza asintotica di una funzione per x che tende a zero

 

XVI) Determinare una funzione asintoticamente equivalente

 

XVII) Esercizio equivalenza asintotica all'infinito

 

XVIII) Trovare l'equivalente asintotico di una funzione fratta

 

XIX) Funzione asintoticamente equivalente a una funzione con parametro

 

XX) Equivalente asintotico di una funzione con parametro

 

 

Lezione correlata

 

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