Esercizi o-piccolo

L'obiettivo di questa scheda di esercizi sugli o-piccolo consiste nel far prendere confidenza con la definizione di o-piccolo e con le regole dell'algebra degli o-piccolo.

 

Più esplicitamente si tratta di una raccolta di esercizi risolti che si rivolge esclusivamente agli studenti universitari, e che è propedeutica per lo studio degli argomenti successivi (con particolare riferimento agli sviluppi di Taylor e alla risoluzione dei limiti con Taylor).

 

Nel caso ve le foste perse, ci sono altre due schede relative agli altri simboli di Landau più ricorrenti. Per chi fosse interessato: esercizi sugli O-grande | esercizi sulle equivalenze asintotiche.

 

Esercizi svolti sugli o-piccolo

 

Gli esercizi - tutti interamente risolti - sono suddivisi in due blocchi: nel primo ci concentriamo sull'utilizzo della definizione di o-piccolo per verificare alcune relazioni mediante la definizione. Nel secondo passiamo alla pratica vera e propria e ci occupiamo della riscrittura e della semplificazione di espressioni analitiche e funzioni in cui compaiono uno o più o-piccoli.

 

 

Esercizi sulla definizione di o-piccolo

 

I) Dimostrare mediante la definizione di o-piccolo la validità della seguente relazione 

 

x^2= o(x) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

II) Utilizzare la definizione di o-piccolo per mostrare la validità della seguente relazione

 

x=o(x^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

 

III) Mostrare mediante la definizione di o-piccolo che

 

x^3+x^2= o(x) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

IV) Mostrare, mediante la definizione di o-piccolo, la fondatezza della seguente relazione

 

(x^3+2x^2)^2=o(x^3+2x^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

V) Mediante la definizione di o-piccolo dimostrare che

 

x^2-2x+1=o(x-1) \ \ \ \mbox{ per }x\to 1

 

VI) Applicando la definizione di o-piccolo dimostrare che sussiste la seguente relazione

 

\frac{x}{x^2+1}=o(x) \ \ \ \mbox{ per }x\to -\infty

 

VII) Utilizzare la definizione di o-piccolo per verificare che

 

\frac{x^2+x+1}{x-3}=o(x^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

 

VIII) Mostrare mediante la definizione di o-piccolo la correttezza della relazione

 

(x-2)^2-(x-2)^3=o(\sqrt{x-2}) \ \ \ \mbox{ per }x\to 2^{+}

 

IX) Applicando la definizione di o-piccolo dimostrare che

 

x-3=o\left(\frac{1}{x-3}\right) \ \ \ \mbox{ per }x\to 3^+

 

X) Per quali valori del parametro \alpha\in\mathbb{R} sussiste la relazione

 

x^{\alpha+1}=o(x^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XI) Dimostrare per quali valori di un parametro reale \alpha è valida la relazione con o-piccolo

 

x^{5\alpha-3}=o(x^3) \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

 

XII) Determinare per quali valori di \alpha risulti vera la seguente relazione

 

2x^3-\alpha x^{3}+x^4= o(x^3) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XIII) Determinare per quali valori del parametro reale positivo \alpha risulti soddisfatta l'uguaglianza

 

\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{\alpha}=o((x-3)^3) \ \ \ \mbox{ per }x\to 3^{+} \ \ \ \mbox{ con }\alpha>0

 

XIV) Determinare i valori del parametro reale \alpha per il quale sussiste la relazione

 

\sqrt{x^{\alpha}}=o(\sqrt{x^2}) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0^{+}

 

XV) Determinare per quali valori di un parametro reale si ha che

 

\frac{x^2}{x+1}=o(x^{\alpha}) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0^{+}

 

XVI) Dimostrare la seguente uguaglianza

 

e^{x}-1=o(\sqrt{x}) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0^{+}

 

XVII) Mostrare la veridicità della seguente relazione con o-piccolo

 

\ln(1+\sqrt{x^3})=o(\sqrt{x}) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0^{+}

 

XVIII) Dimostrare la seguente uguaglianza mediante la definizione di o-piccolo e applicando i limiti notevoli

 

\sin((e^{x}-1)^2)=o(\sin(x)) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XIX) Dimostrare mediante la definizione di o-piccolo e applicando i limiti notevoli che

 

1-\cos(x-1)=o(x-1) \ \ \ \mbox{ per }x\to 1

 

XX) Facendo uso della definizione di o-piccolo e applicando i limiti notevoli, dimostrare che

 

\sin(x^2-4x+4)+x^2-4x+4= o(x-2) \ \ \ \mbox{ per }x\to 2

 

 

Esercizi sulla semplificazione degli o-piccolo e sull'algebra degli o-piccolo

 

XXI) Semplificare la seguente espressione, eliminando i termini che vengono inglobati nell'o-piccolo.

 

3x^3+o(x) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XXII) Utilizzare la definizione di o-piccolo per semplificare il più possibile la seguente espressione

 

1+x+3x^2+o(x)\ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XXIII) Eliminare i termini trascurabili della seguente espressione applicando la definizione di o-piccolo

 

3-2x+2x^2+\frac{x^3}{3}+o(x^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XXIV) Semplificare il più possibile la seguente espressione facendo uso della definizione di o-piccolo

 

3(x-2)+\frac{1}{4}(x-2)^3+o((x-2)^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to 2^{+}

 

XXV) Applicando la definizione di o-piccolo, semplificare la seguente espressione senza che vi sia perdita di informazioni.

 

3\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x^3}+3x^2+o(x\sqrt{x}) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0^{+}

 

XXVI) Eliminare i termini superflui nella seguente espressione

 

(e^{x}-1)^{2}+3 (e^{x}-1)^3+o(x^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XXVII) Eliminare tutti i termini trascurabili della seguente espressione utilizzando esclusivamente la definizione di o-piccolo

 

3+2x^3+\sqrt{x}\sin(x)+o(x) \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

 

XXVIII) Siano

 

\\ f(x)=1+x^2+x^3+o(x^3)\ \ \ \mbox{ per }x\to 0 \\ \\ g(x)= 1+x+o(x^4) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

Calcolare le seguenti espressioni facendo uso dell'algebra degli o-piccolo:

 

a) \ f(x)+g(x) \ \ \ , \ \ \ b) \ f(x)-g(x) \ \ \ , c) \ f(x)\cdot g(x)

 

XXIX) Date le funzioni

 

\\ f(x)=1+o(x^4) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0\\ \\ g(x)= x^3+o(x^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

utilizzando le regole dell'algebra degli o-piccolo, valutare

 

a) \ f(x)+g(x) \ \ \ , \ \ \ b) \ f(x)\cdot g(x) \ \ \ , \ \ \ c) [f(x)]^2

 

XXX) Date le funzioni

 

\\ f(x)=3x^2+x^3+o(x^4) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0 \\ \\ g(x)=1-2x+o(x) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

calcolare il prodotto f(x)\cdot g(x) eliminando i termini che si possono trascurare.

 

XXXI) Calcolare e semplificare il più possibile:

 

(x+o(x))^2=x^2+o(x^2) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XXXII) Calcolare

 

(1+x+o(x))^2+o(x) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XXXIII) Calcolare

 

\left(1+\frac{x}{2}+o(x)\right) \left(1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)

 

XXXIV) Semplificare il più possibile la seguente espressione

 

(x^2+o(x^2))^2\cdot (2 x+o(x)) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XXXV) Calcolare la seguente espressione e semplificare il più possibile il risultato

 

(2+o(x))\cdot (x+o(x))^3 \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XXXVI) Semplificare la seguente espressione al variare del parametro n\in\mathbb{N}

 

(x^n+o(x)) (x+o(x^n)) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

XXXVII) Calcola al variare del parametro n\in\mathbb{N}

 

(3+x^n+o(x^2))^2+o(x^3) \ \ \ \mbox{ per }x\to 0

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Dimostrare una relazione di o-piccolo

 

II) Dimostrare che x è un o-piccolo di x^2

 

III) Esercizio sulla definizione di o-piccolo

 

IV) Esercizio su o-piccolo e potenze

 

V) Esercizio sulla verifica di un o-piccolo

 

VI) Esercizio con o-piccolo e funzione fratta

 

VII) Verifica relazion o-piccolo per x che tende all'infinito

 

VIII) Esercizio o-piccolo di una radice

 

IX) o-piccolo di una funzione fratta

 

X) Esercizio o-piccolo con parametro

 

XI) Valore di un parametro per relazione con o-piccolo

 

XII) Esercizio funzione parametrica e o-piccolo

 

XIII) Esercizio su o-piccolo con funzione parametrica

 

XIV) Esercizio su o-piccolo funzione con parametro e radice

 

XV) o-piccolo di una funzione con parametro

 

XVI) Relazione di o-piccolo per x che tende a zero

 

XVII) Esercizio su o-piccolo con logaritmo e radice

 

XVIII) Esercizio o-piccolo del seno

 

XIX) o-piccolo con coseno e x tendente a 1

 

XX) Dimostrare uguaglianza con o-piccolo

 

XXI) Semplificare espressione con o-piccolo

 

XXII) Esercizio sulla riduzione di un'espressione con o-piccolo

 

XXIII) Esercizio su o-piccolo e termini trascurabili

 

XXIV) Termini da inglobare in un o-piccolo

 

XXV) Semplificare una funzione con o-piccolo

 

XXVI) Semplificare espressione con o-piccolo ed esponenziali

 

XXVII) o-piccolo e termini trascurabili per x che tende all'infinito

 

XXVIII) Esercizio operazioni con gli o-piccolo

 

XXIX) o-piccolo: semplificare somma, prodotto e potenza

 

XXX) Prodotto di funzioni con o-piccolo

 

XXXI) Potenza di una somma con o-piccolo

 

XXXII) Espressione composta con o-piccolo

 

XXXIII) Semplificare un prodotto con o-piccolo

 

XXXIV) Ridurre un o-piccolo con prodotto e potenza

 

XXXV) Calcolare e semplificare un'espressione con gli o-piccolo

 

XXXVI) Espressione parametrica con o-piccolo

 

XXXVII) Calcolare espressione con o-piccolo e parametro

 

 

Lezione correlata

 
 

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