Esercizi di riepilogo risolti sui limiti

Eccoci ad una scheda conclusiva: qui di seguito potete mettervi alla prova con una selezione di esercizi di riepilogo risolti sui limiti. Gli esercizi sono rivolti sia agli studenti delle superiori che agli universitari, ad eccezione di quelli presenti alla fine dell'elenco, e presuppongono una preparazione completa. Prima di affrontarli è bene aver digerito tutte le varie tecniche relative al calcolo dei limiti.

 

A proposito: ci sono altre 8 schede di esercizi proposti e di riepilogo sui limiti, divisi per livello di difficoltà. Li potete consultare a partire dalla pagina del link. Per chi fosse interessato c'è anche una scheda di esercizi risolti sui limiti con parametro. :)

 

Alcuni esercizi svolti e di riepilogo sui limiti

 

Attenzione: tra gli esercizi svolti ve ne sono alcuni che richiedono l'applicazione del metodo di calcolo dei limiti con Taylor. Poiché tale tecnica è oggetto di studio solamente nei corsi universitari, abbiamo contrassegnato i corrispondenti esercizi con una [T]. Gli studenti delle scuole superiori non sono tenuti a svolgerli. ;)

 

Gli studenti universitari possono approfondire il discorso qui: esercizi svolti limiti con Taylor

 

 

I) \\ \lim_{x\to 0}{\frac{x}{1-e^{2x}}}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{1-e^{2x}}}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to -\infty}{\frac{x}{1-e^{2x}}}

 

II) \lim_{x\to 0}{(1-\cos{(x)})^{\tan{(x)}}}

 

III) \lim_{x\to +\infty}{\frac{\ln{\left(\frac{1}{x^2}\right)}}{\cos{(x)}-\ln{(x^4-2)}}}

 

IV) \lim_{x\to+\infty}{\frac{e^x \sin{\left(e^{-x}\sin{(x)}\right)}}{x}}

 

V) \lim_{x \to 0}{\frac{\cos^3(x)-1}{\sin(x^2)}}

 

VI) \lim_{x\to 2}\frac{(e^x-1)\ln(x-1)}{(e^{x^2}- e^4)\ln(x+1)}

 

VII) \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{\frac{1}{x}+x}{x\log{(x)}-x}}

 

VIII) \lim_{x\to+\infty} x e^{x}\sin\left (e^{-x}\cdot \sin\left (\frac{2}{x}\right ) \right )

 

IX) \lim_{x\to 0}{\frac{x\ln{(1+x^2)}-x^3\sin{(x^2)}}{x^3-x^4}}

 

X) \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{2x^2+x+1}-2}

 

XI) \lim_{x\to 1}\frac{2x^2}{3-3x^2}(\sqrt{2-x}-1)

 

XII) \lim_{x\to 0^+}\frac{(x^{2x}-1)\sin(x\log(x))}{1-\cos(x\log(x))}

 

XIII) \lim_{x\to \infty}(\sqrt{x^4+x^3}-x^2)(e^{\frac{x}{x+2}}-e)

 

XIV) \lim_{x\to +\infty}{\left[\frac{4x+5}{6x+1}\right]^{\frac{1-x^2}{3x+2}}}

 

XV) \lim_{x\to 0}\frac{\log(e+x)-1}{x}

 

XVI) \lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}{\log{(x^9+x^7)}}}

 

XVII) \lim_{x\to 1}{x^{\frac{1}{x^{2}-1}}}

 

XVIII) \lim_{x\to +\infty}\left(\arctan\frac{1}{x}\right)^{\frac{3+2x}{1-x^3}}

 

XIX) \lim_{x\to -\infty}{\frac{\sin{\left(\frac{1}{x^2}\right)\sin{(x^2)}}}{\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{3x^2-1}}}

 

XX)

 

\\ \lim_{x\to \infty}\left(\frac{\ln(x)}{2+\ln(x)}\right)^{x^2}\\ \\ \\ \lim_{x\to +\infty} (1+e^{-x})^{2x\ln(x)}\\ \\ \\ \lim_{x\to -\infty}\frac{2x^4-1}{x^5\sin\frac{1}{x}}\cdot \left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x^2}

 

XXI) f(x)=\frac{1}{1-2\sin(x)} e^{\frac{1}{2\sin(x)-1}}

 

XXII) \lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{(1-\cos{(x)})}-|x|}{x^2}}

 

XXIII) \displaystyle{\lim_{x\to +\infty} \left | \sqrt{x-2}-5 \right |\tan\frac{2x}{\sqrt{x^3-x+1}}}

 

XXIV) \lim_{x\to \frac{1}{3}}\frac{\arctan^2{[2\sin{(\pi x)}-\sqrt{3}]}}{1-\cos{(3x-1)}}

 

DA QUI IN POI SOLO UNIVERSITARI

 

XXV) \not\exists \lim_{x\to +\infty}{\cos{(x)}}

 

XXVI) \lim_{x\to\infty}(3\cos(x)+7\sin(x))

 

XXVII) \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( ax \right)-ax}{\sin \left( bx \right)-bx}

 

XXVIII) f(x)=\frac{\ln(1-x)+x}{x^2}\ \ \ \ \ [T]

 

XXIX) \lim_{x\to0^+} \left ( \frac{x-\sin(x)}{\log(1+x)-x} \right )\ \ \ \ \ [T]

 

XXX) \lim_{x\to 0^+} \frac{2^{\sin\frac{1}{x}}-30}{|x\lnx|}

 

XXXI) \lim_{x\to +\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x-e\right)x

 

XXXII) \lim_{x\to 0}{\frac{\arctan{(x)}-xe^{x}}{x\cos{(x)}-xe^{x}}}\ \ \ \ \ [T]

 

XXXIII) \lim_{x\to0^{+}} \frac{\ln^2(x)+\cos\left(\frac{1}{x}\right)\ln(x)+\sin(x)}{\tanh(\frac{1}{x})\ln^2(x)+\sin(x)\ln(x)}

 

XXXIV) \lim_{x\to 0^+}\frac{x(\log(\sin(x))-\log(x))}{\sqrt{1+x^3}-1}

 

XXXV) \lim_{x\to 0}{ \frac{x^{2}\cos(x)-6\log(1+x^{2})+5x^{2}}{(e^{\sqrt[4]{1+4x^{3}+8x^{4}}}-e)\arcsin (x)}}\ \ \ \ \ [T]

 

XXXVI) \lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^4\left(x+\frac{1}{2}\right)^4}{e^{\cos\left(x-\frac{1}{2}\right)}+\frac{e}{2}\ln\left(x^2-x+\frac{5}{4}\right)-e}\ \ \ \ \ [T]

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio: tre limiti per x tendente a zero e a ± infinito

 

II) Limite di una funzione esponenziale con base variabile

 

III) Limite fratto con confronto tra infiniti

 

IV) Limite per x tendente a +infinito e stime asintotiche

 

V) Limite fratto con potenze di coseno e seno

 

VI) Limite con sostituzione e limiti notevoli

 

VII) Esercizio limite con passaggi algebrici e de l'Hopital

 

VIII) Limite con forma indeterminata 0 per infinito, seno ed esponenziale

 

IX) Limite fratto con seno, logaritmo ed equivalenze asintotiche

 

X) Limite con i radicali per sostituzione

 

XI) Limite con razionalizzazione e prodotto

 

XII) Limite con identità log-exp e limiti notevoli

 

XIII) Limite di un prodotto con limiti notevoli

 

XIV) Limite con esponenziale a base variabile e identità log-exp

 

XV) Limite con proprietà dei logaritmi e limiti notevoli

 

XVI) Limite fratto con differenza di radici e logaritmo

 

XVII) Limite esponenziale con base x ed esponente fratto, per sostituzione

 

XVIII) Limite esponenziale con arcotangente ed esponente razionale

 

XIX) Limite con equivalenze asintotiche e razionalizzazione 

 

XX) Tre esercizi vari sui limiti

 

XXI) Calcolo di 4 limiti per una funzione trigonometrica con termine esponenziale

 

XXII) Calcolo di un limite con radice e valore assoluto

 

XXIII) Limite con tangente e valore assoluto

 

XXIV) Limite di un rapporto con arcotangente, seno e coseno

 

XXV) Dimostrare che il coseno non ammette limite per x tendente a +infinito

 

XXVI) Limite all'infinito di una somma con seno e coseno

 

XXVII) Esercizio impegnativo: limite con rapporto di seni

 

XXVIII) Limite con logaritmo calcolato sia con Taylor che con de l'Hopital 

 

XXIX) Classico esercizio introduttivo: limite fratto con Taylor

 

XXX) Stabilire se un limite esiste giustificando la risposta

 

XXXI) Limite in cui i limiti notevoli non funzionano

 

XXXII) Limite calcolato sia con Taylor che con limiti notevoli

 

XXXIII) Limite fratto con tangente iperbolica

 

XXXIV) Limite da calcolare senza de l'Hopital

 

XXXV) Esercizio sul calcolo di un limite con Taylor e diverse funzioni

 

XXXVI) Limite con Taylor, esponenziale coseno e logaritmo

 

 

Lezione correlata

 

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