Esercizi risolti limiti notevoli

Qui di seguito vi proponiamo la prima di due schede di esercizi risolti sui limiti notevoli, tutti interamente svolti e commentati in ogni singolo passaggio. Ovviamente i limiti notevoli qui sono i protagonisti.

 

Le due schede di esercizi svolti sui limiti notevoli si riferiscono alle due possibili tecniche di applicazione. Se avete letto la lezione come usare i limiti notevoli saprete perfettamente che ci sono due possibili metodi con cui applicare i limiti notevoli: da una parte il metodo delle operazioni algebriche (che abbiamo chiamato metodo ingenuo), dall'altra il metodo dei limiti notevoli mediante equivalenze asintotiche.

 

In questa scheda gli esercizi sono svolti con il primo dei due metodi, mentre nella successiva (esercizi risolti sui limiti notevoli con le equivalenze asintotiche) con il secondo. Se non avete le idee più che chiare al riguardo vi suggeriamo di leggere le lezioni citate in precedenza, ed eventualmente di ripartire dalle schede di esercizi proposti:

 

- esercizi sui limiti notevoli - livello facile

 

- esercizi sui limiti notevoli - livello intermedio

 

- esercizi sui limiti notevoli - livello avanzato

 
 
 

Esercizi svolti sui limiti da calcolare con i limiti notevoli

 

La consegna degli esercizi è semplice: calcolare i seguenti limiti manipolando le espressioni delle funzioni coinvolte, in modo da mettervi nella condizione di applicare uno o più limiti notevoli, anche in sequenza.

 

I) \lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{3x}

 

II) \lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x}}

 

III) \lim_{x\to \pm\infty}{\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{x}}

 

IV) \lim_{x\to 0 }\left(1-\frac{2}{x}\right)^{x}

 

V) \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x^2}

 

VI) \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-4x)}{x}

 

VII) \lim_{x\to 1} \frac{\arctan(x-1)}{2(1-x)}

 

VIII) \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{\ln{(1+x)}}}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos{(x)}}{\ln{(1+x^2)}}}

 

IX) \lim_{x\to +\infty}{x\left(e^{\frac{2}{x}}-1\right)}

 

X) \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{\ln(1+x)}

 

XI) \lim_{x\to 0}\frac{\arctan{\left(2x\right)}}{\sin{\left(3x\right)}}

 

XII) \lim_{x\to -2}\frac{e^{2x+4}-1}{x+2}

 

XIII) \lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt[5]{1+3x}-1}{7x+4x^2}}

 

XIV) \lim_{x\to 0}\frac{1-e^{2x}}{\sin(3x)}

 

XV) \lim_{x\to 0}\frac{2x+\sin(4x)}{\tan(x)}

 

XVI) \lim_{x\to 0}{\frac{2x^2+\tan{(x^3)}}{\sin^2{(x)}}}

 

XVII) \lim_{x\to 0}\frac{\cos(3x)-1}{1-\sqrt{1-x^2}}

 

XVIII) \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x+3\ln(1+x)}-1}{x}

 

XIX) \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{2x^2+x+1}-2}\ \ ;\ \ \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin(x)-\cos(x)}{\pi-4x}\ \ ;\ \ \lim_{x\to 0}\cot^2(x)\log(\cos^2(x))

 

XX) \lim_{x\to0}\frac{\cos^{3}{\left(x\right)}-1}{\sin{\left(x^{2}\right)}}

 

XXI) \lim_{x\rightarrow 0 }{}\frac{\sin{\left(3x\right)}}{\sqrt{1-\cos{\left(3x\right)}}}

 

XXII) \lim_{x\to 0}{\frac{\sin(2x)+4x}{\sin(4x)-8x}

 

XXIII) \lim_{x\to -\infty}{\frac{\cos(e^x)-1}{\ln(1-e^x)}}

 

XXIV) \lim_{x\to +\infty}x\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)

 

XXV) \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\sin(x)}-1}{\sqrt{1+x^2}-1}

 

XXVI) \lim_{x\to0^-}\frac{\cos(x)-\sqrt[5]{1+x^2}}{x(1-3^x)}

 

XXVII) \lim_{x\to 0}(1+x^3)^{\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6(x)}}

 

XXVIII) \lim_{x\to 0^+}\frac{x(\sin(1-e^{-x})+1)^{\frac{1}{\tan(x)}}}{\ln(\sqrt{1-\cos(x)}+1)}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio sul limite notevole esponenziale

 

II) Esercizio sul limite notevole neperiano

 

III) Altro esercizio sul limite notevole di Nepero

 

IV) Un altro ancora: attenzione ai segni!

 

V) Esercizio sul limite notevole del coseno

 

VI) Esercizio sul limite notevole del logaritmo

 

VII) Esercizio con limite notevole dell'arcotangente

 

VIII) Diversi esercizi risolti sui limiti notevoli dalla scheda beginner

 

IX) Limite con limite notevole dell'esponenziale all'infinito

 

X) Semplice esercizio con due limiti notevoli

 

XI) Limite fratto con limiti notevoli dell'arcotangente e del seno

 

XII) Limite per x tendente a -2 con limite notevole

 

XIII) Limite fratto con limite notevole della radice

 

XIV) Limite con esponenziale, seno e limiti notevoli

 

XV) Esercizio limite con seno, tangente e limiti notevoli |  Altro svolgimento

 

XVI) Altro limite fratto con limiti notevoli del seno e della tangente | Altro svolgimento

 

XVII) Esercizio limite con limiti notevoli del coseno e della radice

 

XVIII) Limite con doppia applicazione dei limiti notevoli

 

XIX) Tre esercizi con limiti riconducibili ai limiti notevoli

 

XX) Limite fratto con i limiti notevoli del seno e del coseno

 

XXI) Esercizio limite fratto con seno, radice e coseno

 

XXII) Esercizio limite con doppia applicazione del limite notevole del seno

 

XXIII) Esercizio limite con e^x e limiti notevoli del coseno e del logaritmo

 

XXIV) Limite che richiede l'applicazione del limite notevole del seno per x tendente a +infinito

 

XXV) Limite fratto con applicazioni consecutive dei limiti notevoli

 

XXVI) Limite con applicazione di 3 limiti notevoli

 

XXVII) Limite con identità logaritmo-esponenziale e limiti notevoli

 

XXVIII) Esercizio limite da risolvere con diversi limiti notevoli

 

  

Lezione correlata


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