Esercizi risolti limiti notevoli mediante equivalenze asintotiche

In questa pagina vi proponiamo un po' di esercizi risolti sui limiti notevoli con le equivalenze asintotiche (note anche come stime asintotiche) dei limiti notevoli, completamente risolti e spiegati nel dettaglio.

 

Come abbiamo spiegato nella lezione sull'applicazione dei limiti notevoli, e come abbiamo anticipato nella scheda di esercizi risolti sui limiti notevoli, l'utilizzo delle equivalenze asintotiche costituisce la tecnica vera e propria di lettura ed applicazione delle formule fornite dalla tabella dei limiti notevoli.

 

All'inizio si giochicchia con opportuni moltiplica-e-dividi, poi però arriva il momento dell'upgrade delle proprie abilità e si inizia ad usare il principio di sostituzione tramite stime asintotiche, protagoniste indiscusse degli esercizi che seguono. :)

 

Non abbiate preconcetti, le equivalenze asintotiche sono meravigliose perché permettono di risparmiare tempo, calcoli e fatica. Eventualmente se siete alla ricerca di esercizi più semplici potete consultare la scheda di esercizi proposti sui limiti notevoli.

 
 
 

 

Nota bene: nel prosieguo delle lezioni abbiamo trattato le equivalenze asintotiche da un punto di vista più formale (il che vuol dire: per i soli studenti universitari), con annessa e connessa scheda di esercizi sulle equivalenze asintotiche.

 

Esercizi svolti sui limiti con le equivalenze asintotiche

 

I) \lim_{x\to +\infty}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-1\right)}

 

II) \lim_{x\to 0}\frac{\log_2(1+2x)}{\sin(x)}

 

III) \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(1-7x)}}{\sqrt{1-\cos{(x)}}}}

 

IV) \lim_{x\to 1}{\frac{\sin{(1-x^2)}}{1-x}}

 

V) \lim_{x\to 0}{\frac{e^x-e^{-x}}{8x}}

 

VI) \lim_{x\to 0}{\frac{1-(1-3x)^{5}}{e^{5x}-1}}

 

VII) \lim_{x\to +\infty} 4x\sin\left(\frac{1}{x}\right)

 

VIII) \lim_{x\to 0}\frac{x(x-\sin(2x))}{\cos(3x)-1}

 

IX) \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x^{\frac{1}{3}}}-1}{\sin{(x^{\frac{1}{7}})}}}

 

X) \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(5x))\tan(3x)}{\ln(1+x^3)}

 

XI) \lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt[3]{1-e^{-x}}-1\right)e^{\frac{x}{2}}

 

XII) \lim_{x\to 1^{-}}{\frac{(e^{x}-1)\ln{(1-x)}}{(e^x-e)e^{-\ln{(1-x)}}}}

 

XIII) \lim_{x\to 0}{\frac{x\sin{(2x)}-2\ln{(1+\sin^4{(x)})}}{\ln{(1-x^4)}}}

 

XIV) \lim_{x\to 0}{\frac{x\tan{(x)}}{\log{(1+3x^2)}}}

 

XV) \lim_{x\to 0^+}\frac{x^{\sin(x)}-1}{x}

 

XVI) \lim_{x\to 0}{\left[\frac{1}{\arctan{(x^2)}}\right]\log{(\cos{(x)})}}

 

XVII) \lim_{x\to 0}{\frac{e^{2x+3\ln{(1+x)}}-1}{x}}

 

XVIII) \lim_{x\to \infty}\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}

 

XIX) \lim_{x\to\infty} x^3(\log(4x^3+1)-\log(4x^3))

 

XX) \lim_{x\to 0}{\frac{2^{x} - 3^{x}}{x + \sin{\left(x\right)}}}

 

XXI) \lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)\cdot \ln{(1+x^4)}}{(1-\cos(3x)\cdot (e^{x^3} - 1)}

 

XXII) \lim_{x\to 0^+} \left[-\frac{1+(\ln(x+1))}{\ln^2(x+1)\cdot (x+1)^2} (-x^2)\right]

 

XXIII) \lim_{x \to 3} \frac{\sin(x^2-3x)}{(x-3)(x-1)}

 

XXIV) \lim_{x\to 0}{ \frac{2x+\sin(2x)+1-\cos(4x)}{-2x^{4}+\sin^{2}(x)}}

 

XXV) \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+x+4}-2}{\ln(1+x+x^2)-x}

 

XXVI) \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x^{3})+2x^2}{\log(1+x^2\sin(x))}\cdot (e^{x^{2}}-1)\cdot \arctan\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)

 

XXVII) \lim_{x\to +\infty } \left[\cos \left(\frac{1}{x}\right)\right]^{x^2}

 

XXVIII) \lim_{x \to 0} {\frac{\cosh(\sin(x))-1}{\log^2(1+x)}}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Limite con equivalenza asintotica del limite notevole della radice

 

II) Semplice limite con due equivalenze asintotiche dei limiti notevoli

 

III) Limite con equivalenze asintotiche del logaritmo e del coseno

 

IV) Limite con equivalenza asintotica per x tendente a 1

 

V) Limite con esponenziale ed equivalenze asintotiche

 

VI) Limite con stime asintotiche della radice e dell'esponenziale

 

VII) Limite per x tendente a +infinito e limite notevole del seno

 

VIII) Limite fratto con seno e coseno

 

IX) Limite fratto con 2 equivalenze asintotiche

 

X) Limite fratto con 3 equivalenze asintotiche

 

XI) Limite con radice cubica ed esponenziali

 

XII) Limite di un rapporto con infiniti, infinitesimi e limiti notevoli

 

XIII) Limite trigonomerico con logaritmo e stime asintotiche

 

XIV) Limite fratto con tangente, logaritmo ed equivalenze asintotiche

 

XV) Limite fratto con identità log-exp e equivalenze asintotiche dei limiti notevoli

 

XVI) Limite con applicazioni combinate delle stime asintotiche

 

XVII) Limite con stime asintotiche, esponenziale e logaritmo

 

XVIII) Limite con differenza di radici cubiche e stime asintotiche

 

XIX) Limite con differenza di logaritmi ed equivalenze asintotiche

 

XX) Limite con trucchetto algebrico e principio di sostituzione

 

XXI) Limite con diverse applicazioni delle equivalenze asintotiche dei limiti notevoli

 

XXII) Limite con equivalenze asintotiche del limite notevole del logaritmo

 

XXIII) Limite con stima asintotica del seno per x tendente a 3

 

XXIV) Limite con stime asintotiche e confronto tra infinitesimi

 

XXV) Limite con equivalenze asintotiche non immediate

 

XXVI) Limite riconducibile ai limiti notevoli mediante stime asintotiche

 

XXVII) Limite esponenziale con forma 1 alla infinito

 

XXVIII) Limite con coseno iperbolico e logaritmo

 

 

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Tags: scheda di esercizi svolti sull'uso delle equivalenze asintotiche nei limiti.

 

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