Esercizi risolti limiti notevoli mediante equivalenze asintotiche

In questa pagina vi proponiamo un po' di esercizi risolti sui limiti notevoli con le equivalenze asintotiche (note anche come stime asintotiche) dei limiti notevoli, completamente risolti e spiegati nel dettaglio.

Come abbiamo spiegato nella lezione sull'applicazione dei limiti notevoli, e come abbiamo anticipato nella scheda di esercizi risolti sui limiti notevoli, l'utilizzo delle equivalenze asintotiche costituisce la tecnica vera e propria di lettura ed applicazione delle formule fornite dalla tabella dei limiti notevoli.

All'inizio si giochicchia con opportuni moltiplica-e-dividi, poi però arriva il momento dell'upgrade delle proprie abilità e si inizia ad usare il principio di sostituzione tramite stime asintotiche, protagoniste indiscusse degli esercizi che seguono. :)

Non abbiate preconcetti, le equivalenze asintotiche sono meravigliose perché permettono di risparmiare tempo, calcoli e fatica. Eventualmente se siete alla ricerca di esercizi più semplici potete consultare la scheda di esercizi proposti sui limiti notevoli.

Nota bene: nel prosieguo delle lezioni abbiamo trattato le equivalenze asintotiche da un punto di vista più formale (il che vuol dire: per i soli studenti universitari), con annessa e connessa scheda di esercizi sulle equivalenze asintotiche.

Esercizi svolti sui limiti con le equivalenze asintotiche

I) $\lim_{x\to +\infty}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-1\right)}$

II) $\lim_{x\to 0}\frac{\log_2(1+2x)}{\sin(x)}$

III) $\lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(1-7x)}}{\sqrt{1-\cos{(x)}}}}$

IV) $\lim_{x\to 1}{\frac{\sin{(1-x^2)}}{1-x}}$

V) $\lim_{x\to 0}{\frac{e^x-e^{-x}}{8x}}$

VI) $\lim_{x\to 0}{\frac{1-(1-3x)^{5}}{e^{5x}-1}}$

VII) $\lim_{x\to +\infty} 4x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

VIII) $\lim_{x\to 0}\frac{x(x-\sin(2x))}{\cos(3x)-1}$

IX) $\lim_{x\to 0}{\frac{e^{x^{\frac{1}{3}}}-1}{\sin{(x^{\frac{1}{7}})}}}$

X) $\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(5x))\tan(3x)}{\ln(1+x^3)}$

XI) $\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt[3]{1-e^{-x}}-1\right)e^{\frac{x}{2}}$

XII) $\lim_{x\to 1^{-}}{\frac{(e^{x}-1)\ln{(1-x)}}{(e^x-e)e^{-\ln{(1-x)}}}}$

XIII) $\lim_{x\to 0}{\frac{x\sin{(2x)}-2\ln{(1+\sin^4{(x)})}}{\ln{(1-x^4)}}}$

XIV) $\lim_{x\to 0}{\frac{x\tan{(x)}}{\log{(1+3x^2)}}}$

XV) $\lim_{x\to 0^+}\frac{x^{\sin(x)}-1}{x}$

XVI) $\lim_{x\to 0}{\left[\frac{1}{\arctan{(x^2)}}\right]\log{(\cos{(x)})}}$

XVII) $\lim_{x\to 0}{\frac{e^{2x+3\ln{(1+x)}}-1}{x}}$

XVIII) $\lim_{x\to \infty}\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}$

XIX) $\lim_{x\to\infty} x^3(\log(4x^3+1)-\log(4x^3))$

XX) $\lim_{x\to 0}{\frac{2^{x} - 3^{x}}{x + \sin{\left(x\right)}}}$

XXI) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)\cdot \ln{(1+x^4)}}{(1-\cos(3x)\cdot (e^{x^3} - 1)}$

XXII) $\lim_{x\to 0^+} \left[-\frac{1+(\ln(x+1))}{\ln^2(x+1)\cdot (x+1)^2} (-x^2)\right]$

XXIII) $\lim_{x \to 3} \frac{\sin(x^2-3x)}{(x-3)(x-1)}$

XXIV) $\lim_{x\to 0}{ \frac{2x+\sin(2x)+1-\cos(4x)}{-2x^{4}+\sin^{2}(x)}}$

XXV) $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+x+4}-2}{\ln(1+x+x^2)-x}$

XXVI) $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x^{3})+2x^2}{\log(1+x^2\sin(x))}\cdot (e^{x^{2}}-1)\cdot \arctan\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)$

XXVII) $\lim_{x\to +\infty } \left[\cos \left(\frac{1}{x}\right)\right]^{x^2}$

XXVIII) $\lim_{x \to 0} {\frac{\cosh(\sin(x))-1}{\log^2(1+x)}}$

Svolgimenti e soluzioni

I) Limite con equivalenza asintotica del limite notevole della radice

II) Semplice limite con due equivalenze asintotiche dei limiti notevoli

III) Limite con equivalenze asintotiche del logaritmo e del coseno

IV) Limite con equivalenza asintotica per x tendente a 1

V) Limite con esponenziale ed equivalenze asintotiche

VI) Limite con stime asintotiche della radice e dell'esponenziale

VII) Limite per x tendente a +infinito e limite notevole del seno

VIII) Limite fratto con seno e coseno

IX) Limite fratto con 2 equivalenze asintotiche

X) Limite fratto con 3 equivalenze asintotiche

XI) Limite con radice cubica ed esponenziali

XII) Limite di un rapporto con infiniti, infinitesimi e limiti notevoli

XIII) Limite trigonomerico con logaritmo e stime asintotiche

XIV) Limite fratto con tangente, logaritmo ed equivalenze asintotiche

XV) Limite fratto con identità log-exp e equivalenze asintotiche dei limiti notevoli

XVI) Limite con applicazioni combinate delle stime asintotiche

XVII) Limite con stime asintotiche, esponenziale e logaritmo

XVIII) Limite con differenza di radici cubiche e stime asintotiche

XIX) Limite con differenza di logaritmi ed equivalenze asintotiche

XX) Limite con trucchetto algebrico e principio di sostituzione

XXI) Limite con diverse applicazioni delle equivalenze asintotiche dei limiti notevoli

XXII) Limite con equivalenze asintotiche del limite notevole del logaritmo

XXIII) Limite con stima asintotica del seno per x tendente a 3

XXIV) Limite con stime asintotiche e confronto tra infinitesimi

XXV) Limite con equivalenze asintotiche non immediate

XXVI) Limite riconducibile ai limiti notevoli mediante stime asintotiche

XXVII) Limite esponenziale con forma 1 alla infinito

XXVIII) Limite con coseno iperbolico e logaritmo

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