Esercizi risolti sui limiti con parametro

Questa scheda propone una raccolta di esercizi risolti sui limiti con parametri ed è da considerarsi come il passaggio successivo agli esercizi di riepilogo risolti sui limiti, in cui abbiamo selezionato una carrellata di esercizi che richiedono potenzialmente l'applicazione di qualsiasi tecnica di calcolo dei limiti.

 

I limiti parametrici sono propedeutici per gli esercizi sullo studio della continuità di funzioni con parametro e, oltre a questo, sono presenti spesso e volentieri negli esami scritti di Analisi 1. Occhi aperti! ;)

 

Salvo ove diversamente indicato, la scheda si rivolge sia agli studenti delle scuole superiori che agli universitari.

 
 
 

Esercizi svolti sui limiti parametrici

 

Studiare e calcolare i seguenti limiti parametrici. Si tenga presente che qui, oltre ad individuare la corretta tecnica di calcolo, è necessario effettuare uno studio preliminare e stabilire in che modo i possibili valori assunti dai parametri influenzano l'esistenza e il valore assunto da ciascun limite.

 

 

I) \lim_{x\to 0^+}{\frac{2\sin{(x)}}{x^k}}

 

II) \lim_{x\to +\infty} x^3-e^{\alpha x}\quad\alpha>0

 

III) \lim_{x\to 0}\frac{x^a}{1-e^{5x^2}}

 

IV) \lim_{x\to 0}\frac{1}{x(x+a)}-\frac{1}{2x}

 

V) Determinare i parametri a,b in modo tale che risulti

 

\lim_{x\to \infty }{\frac{ax^{2}+3x-1}{bx^{3}-3a^{2}x^{2}+5}}=\frac{1}{2}

 

VI) Stabilire per quali valori dei parametri m,n la funzione

 

y=\frac{mx+3n}{2mn+x}

 

tende all'infinito per x\to 1 e tende a 1 per x\to\infty.

 

VII) \lim_{x\to 0^+}\frac{-x^2-\alpha x-2 x}{x^2 (\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+\alpha x +x^2})}

 

VIII) \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^4+4x^2+4a}{x^4+4x^2}\right)^{x^{2a+1}}

 

IX) \lim_{x\to+\infty}\frac{9x^{3+5a}-9x}{7|2+7x|^{2a+2}-9x^5}

 

X) \lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^{\alpha}\sqrt{1-\cos{(\sqrt{x})}}}

 

XI) \lim_{x\to+\infty}{\left ( \frac{x^2+xt+1}{x^2+1} \right )^{xt}}

 

XII) \lim_{x\to 0^+}\frac{\cos(x)-k x-k e^x}{x^{2k}}

 

XIII) \lim_{x\to 0^{\pm}}x^a\sin\left(\frac{1}{x^b}\right)

 

XIV) \lim_{x \to0^+}{\frac{e^{\alpha x^2}-\cos(x)}{\sqrt{1+x^\frac{2}{|\alpha|}}-1}}

 

XV) \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{(\log{(1-3x)})(e^{4x}-1)}{[\tan{(x)}]^k(1+\cos{(x)})}}

 

XVI) \lim_{x \to \infty} \frac{x^h \cdot \left( 1 - \cos{ \left( \frac{1}{x} \right) } \right)}{e^{(2 - h)x}}

 

 

DA QUI IN POI SOLO PER UNIVERSITARI

 

XVII) \lim_{x\to 0+}{}\frac{\arctan(x) - k\sin(x)}{\sin(\sqrt{x}) - \sqrt{x}}

 

XVIII) \lim_{x\to 0+} \frac{\tan^2(2x)-\sin^2(2x)}{x^a}

 

XIX) \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\arctan(e^{x}-1)+\ln(1-x)}{x^{\alpha}}

 

XX) \lim_{x\to 0}{{\frac{\cos(\alpha x)-\sqrt{1+x^2}-\alpha ^2x^2 }{(x-\sin(x))^\alpha }}

 

XXI) \lim_{x\to 0}\frac{\cos(a x)-\sqrt{1+x^2}-a^2 x^2}{(x-\sin(x))^a}

 

XXII) \lim_{x \to \0}\frac{\cos(x^\alpha) -\sqrt{1-\alpha x^2}}{x^4}

 

XXIII) \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1+2x^a}-1-x^2}{\ln(1+x+x^2)-x)}

 

XXIV) \lim_{x\to 0}{\frac{e^{2x^2}-1-x\sin{(2x)\sqrt{1-x^2}}}{\ln{(1-x^2)}-ax^2}}

 

XXV) \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+3x}-e^{3x}}{a\sin(x)+(a-1)\tan^2(x)}

 

XXVI) \lim_{x\to 0}{\frac{b\sin^2{(x)}+\tan{(3x)}+1-\cos{(x)}}{\sqrt{(1-\cos{(3x)})}+(\sin{(3x)})^{2b}}}

 

XXVII) \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-e^{x}+ x(1+x+x^2)}{|\sin^2(x)-\cos(x^p)|\sin(x^p)}

 

XXVIII) \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln((1+x^2)^3)}{\arcsin^3(x)-x^\alpha \sin(x)}

 

XXIX) \lim_{x \to \0}\frac{\sqrt{1+2x^2}-\sqrt[3]{1+3x^2}-\alpha{x^4}}{x^4}

 

XXX) \lim_{x \to 0}{\frac{ \sin{\left(x-x^{2}\right)} + \sin{\left(x+x^{2}\right)} - ax^{3} -bx^{2} -cx}{ \cos{\left(x\right)} -1 +\frac{1}{2}x^{2}}}

 

XXXI) \lim_{x\to ^+}\frac{e^x-\log(1-x)-\sin(2x)-\cos(x)-\frac{3}{2}x^2}{x^a(\sqrt{1-x}-\cosh(x))}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Limite parametrico fratto con seno

 

II) Limite parametrico con differenza ed esponenziale

 

III) Limite fratto con parametro ed esponenziale

 

IV) Trovare il valore di un parametro avendo il valore del limite

 

V) Determinare i valori di due parametri conoscendo il valore del limite

 

V) Ricavare i valori dei parametri dai limiti di una funzione

 

VI) Limite con una differenza di radici al variare di un parametro

 

VII) Limite con esponenziale a base variabile e con parametro

 

VIII) Limite parametrico con infiniti ed esponenziali

 

IX) Limite parametrico fratto con radice e coseno

 

X) Limite parametrico con esponenziale a base razionale

 

XI) Limite con coseno e differenza con parametri

 

XII) Valori di due parametri per cui un limite esiste finito

 

XIII) Studiare un limite fratto con parametro

 

XIV) Studiare un limite dipendente da un parametro reale

 

XV) Limite parametrico da studiare con i limiti notevoli

 

XVI) Limite fratto con Taylor e funzioni trigonometriche

 

XVII) Limite parametrico con differenza di funzioni trigonometriche

 

XVIII) Limite con parametro, arcotangente e logaritmo

 

XIX) Limite fratto con parametro e con Taylor

 

XX) Studiare un limite parametrico con Taylor

 

XXI) Limite con parametro e sviluppo di Mc Laurin

 

XXII) Limite fratto con parametro, radice e logaritmo

 

XXIII) Calcolo di un limite al variare di un parametro con Taylor

 

XXIV) Limite misto al variare di un parametro reale

 

XXV) Limite fratto con parametro e funzioni goniometriche

 

XXVI) Studiare un limite parametrico con seno e coseno

 

XXVII) Limite parametrico con logaritmo, arcoseno e seno

 

XXVIII) Limite parametrico fratto con radici

 

XXIX) Limite con tre parametri: stabilire per quali valori esiste finito

 

XXX) Limite con parametro e Taylor-Mc Laurin

 

 

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