Esercizi risolti limiti con trucchi algebrici

In questa scheda vi proponiamo una selezione di esercizi risolti sui limiti con trucchi algebrici. Prima di procedere vediamo di fare un po' di chiarezza. ;)

 

Innanzitutto, questa è la seconda scheda di esercizi pre-riepilogativa (la prima è quella relativa agli esercizi sui limiti per razionalizzazione). Qui e nelle due schede successive ci occupiamo delle tecniche algebriche utili per manipolare le espressioni delle funzioni, in modo da metterci nella condizione di applicare le tecniche di calcolo dei limiti a noi note. Il calcolo dei limiti non è sempre tutto rose e fiori e, specie in presenza di una forma indeterminata, può richiedere un po' di lavoro algebrico prima di applicare i metodi che ben conosciamo. ;)

 

Che cosa intendiamo con trucchi algebrici? Si tratta semplicemente di una serie di barbatrucchi, gabole e tricks algebrici tipici nella risoluzione di alcune specifiche tipologie di limiti. Mettetevi alla prova e registratele in memoria, perché potrebbero togliervi dai guai in sede d'esame all'università o nelle verifiche delle scuole superiori. ;)

 
 
 

Esercizi svolti sui limiti con trucchi algebrici

 

Risolvere i seguenti esercizi sui limiti applicando opportune manipolazioni algebriche, in modo tale da poter applicare agevolmente le tecniche dei limiti già studiate.

 

Nota bene: il campione di esercizi svolti che abbiamo selezionato è indicativo. Le tecniche utilizzate sono tra le più ricorrenti ma non costituiscono un elenco esaustivo (sarebbe impossibile), per cui in generale vi raccomandiamo di tenere le antenne dritte e di raschiare il bagaglio di conoscenze matematiche che deriva dai vostri studi pregressi. :)

 

I) \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^3{(x)}}{x\sin(x)\cos(x)}

 

II) \lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sin(x)}}

 

III) \lim_{x\to \infty} x(\log(1+x)-\log(x))

 

IV) \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{e^x-e}

 

V) \lim_{x\to 1}{\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x-1}}}

 

VI) \lim_{x\to 0}\frac{\log(e+x)-1}{x}

 

VII) Studiare e calcolare il seguente limite al variare del parametro reale \alpha

 

\lim_{x\to 0}(\cos(2x))^{\displaystyle{\frac{1}{x^\alpha\sin(x)}}}

 

VIII) \lim_{x\to \infty} \left(\frac{\ln(2x)}{\ln(x)}\right)^{\ln(x)}

 

IX) \lim_{x\to 0}\frac{A^x-B^x}{x}

 

X) \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(e^{x}(2+\cos(x))-2^x\right)}{\ln\left(2^{x}(2+\sin(x))+e^{x}\right)}

 

XI) \lim_{x \to 0}\frac{\tan(x)}{e^{\sin(x)}-\cos(x)}

 

XII) \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)\tan(x)

 

XIII) \lim_{x\to +\infty}{\frac{x^2}{x+1}e^{\frac{x}{x+1}}-ex}

 

XV) \lim_{x\to 0 }{\frac{e^{x^{2}}}{(x+1)^x -1}}

 

XVI) \lim_{x\to \infty}\frac{5}{x}+\left(\frac{2x^2+3x+4}{2x^2+1}\right)^{-x}

 

XVII) \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x+3)-\sin(3)}{x \cos(x)}

 

XVIII) \lim_{x \to 0}\left({\frac{1}{\cos(x)}\right)^{\frac{\sin(x)}{x^{3}}}}

 

XIX) \lim_{x\to 0}{\frac{(1+\sin{(x)}+\sin^2{(x)})^\frac{1}{x}-(1+\sin{(x)})^\frac{1}{x}}{x}}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Un'opportuna scomposizione + equivalenze asintotiche

 

II) Un classico: differenza di radici e x->infinito = razionalizzazione

 

III) Un altro classico che spesso e volentieri leva dai guai

 

IV) Rovescia, raccogli e via con i limiti notevoli

 

V) Aggiungi e sottrai per ricondurti ad un limite notevole

 

VI) Limite facilmente calcolabile con le proprietà dei logaritmi

 

VII) Limite con la preziosissima identità log-exp (la scaccia-guai ;) )

 

VIII) Altro esempio di limite con identità exp-log

 

IX) Non per essere insistenti, ma è un barbatrucco molto importante!

 

X) Limite con raccoglimenti, proprietà dei logaritmi e altri raccoglimenti

 

XI) Somma e sottrai per ricondurti a ben due limiti notevoli in un colpo solo

 

XII) Limite con trucchi e formule trigonometriche

 

XIII) Smanettamenti vari con esponenziali

 

XIV) Limite con esponenziale a base variabile

 

XV) Limite con somma e sottrai, moltiplica e dividi

 

XVI) Limite con il pezzo trigonometrico da 90!

 

XVIII) Quando vedi un limite con esponenziale a base variabile...

 

XIX) Un crogiuolo di barbatrucchi e di equivalenze asintotiche

 

 

 

Tags: scheda di esercizi svolti sui trucchi algebrici nel calcolo dei limiti.

 

pba1