Esercizi risolti limiti con Taylor-Mc Laurin

A partire da questa pagina potete mettervi alla prova con una selezione di esercizi risolti sui limiti con Taylor-Mc Laurin. Per la teoria, il metodo e tutte le spiegazioni del caso vi rimandiamo alla lezione correlata raggiungibile dal link presente a fondo pagina.

 

Attenzione: gli esercizi sui limiti con Taylor si rivolgono solo ed esclusivamente agli studenti universitari; gli sviluppi di Taylor non sono infatti oggetto di studio delle lezioni di Matematica delle scuole superiori, come abbiamo precisato nella lezione sui limiti con Taylor.

 

Nota bene: c'è anche una seconda scheda di esercizi svolti sui limiti con Taylor, date un'occhiata! ;)

 

Esercizi svolti sui limiti con Taylor - Mc Laurin

 

Risolvere i seguenti limiti usando opportunamente gli sviluppi di Taylor-Mc Laurin. Ove possibile conviene ridursi agli sviluppi fondamentali, dandoli per buoni: tenete presente che con la giusta dose di allenamento gli sviluppi più importanti e ricorrenti si imprimono automaticamente nella memoria, e che vi permetteranno di risparmiare parecchi calcoli in sede d'esame. :)

 

I) \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{\left(x\right)}-x+2x^{5}}{3x^{3}}}

 

II) \lim_{x\to 0}\frac{\log\left(1+\frac{x}{2}\right)}{\sin(3x)}

 

III) \lim_{x\to 0}\frac{x\sin^3(x)}{1-\cos(x^2)}

 

IV) \lim_{x\to 0}\frac{\cos^2(x)+x^2-1}{x^4}

 

V) \lim_{x\to 0}{\frac{x^2-\sin^{2}{\left(x\right)}}{(e^x-1-x)^{2}}}

 

VI) \lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-\sin(3x)-1}{\log(1-2x)}

 

VII) \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{x^{2}\log(1+x)+\tan(x)}{\sin(x)+\sqrt{x}}}

 

VIII) Calcolare lo sviluppo di Taylor della funzione g(x)=(1-2x)^{\frac{1}{3}} nel punto x_0=0 e di conseguenza calcolare lo sviluppo della funzione

 

f(x)= 2(1-2x)^{\frac{1}{3}}) - 2 +\frac{4}{3} x

 

Utilizzarlo per calcolare il limite

 

\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}

 

IX) \lim_{x \to0}{\frac{\tan(x)-x}{x^5} - \frac{1}{3x^2}}

 

X) \lim_{x\to 0}\frac{2(1-\cos(x))\sin(x)-x^3}{\sin^3(x)-x^3}

 

XI) \lim_{x\to -\infty}{\frac{e^{x}}{(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}}

 

XII) \lim_{x\to 1}\frac{e^{-\frac{1}{2}}\cos(x-1)-e^{\frac{x^2-2x}{2}}}{\sin(x-1)\arctan(x-1)}

 

XIII) \lim_{x\to 0}\frac{x\sqrt{1+x^2}-\sin(x)}{(1+x^2)^{x}-\sqrt{1+x^3}}

 

XIV) \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{\left(x\right)}- xe^{x}+ x^{2}\cos{\left(x\right)}}{(e^{x}-1)^{3}}}

 

XV) \lim_{x\to 0}{\frac{\sin(e^{x}-1)-x-\frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}}

 

XVI) \lim_{x\to 0^+}\frac{x\ln(1-2x)+2x^2}{2(\cos(x^3)-1)+x^3\sin(x^3)}

 

XVII) \lim_{x\to 0^{+}}\frac{2^{x}-3^{-x}}{\ln(2^{x}-x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right))}

 

XVIII) \lim_{x\to 1+}\frac{\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)+\frac{\pi}{2}(x-1)\right)}{(x-1)^3}

 

XIX) \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)\ln x-\frac{(x-1)^2}{x}}{(e^x-e)^3}

 

XX) \lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(x)-\sin(x^2)}{x^2(\cos^2(x)-\cos(x^2))}

 

XXI) \lim_{x\to 0^+}{\frac{\arctan(4x)-2x^3+1-\cos(2x)}{\sin(x^3)- x^2 +e^x -1}}

 

XXII) \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x\sin(x))-e^{x^2}+1}{\sqrt{1-3x^4}-1}

 

XXIII) \lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{1+\sin(2x)}- e^{x}}{\sqrt[4]{\cos^3(x)} -1}}

 

XXIV) \lim_{x\to 0^+}\frac{(1+2x)^{\frac{1}{2}}-(1+\sin(2x))^{\frac{1}{2}}}{2x^3}

 

XXV) \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\left[ \sqrt[3]{{\frac{1-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-1}}}-1\right]

 

XXVI) \lim_{x\to 0}\frac{x(1+\sin(x))^x-\arcsin(x)}{\sin(x) (1+x)^{\sin(x)}-\arctan(x)}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Limite e limiti notevoli che non funzionano: servono gli sviluppi di Taylor-Mc Laurin

 

II) Esercizio introduttivo sui limiti con Taylor o con i limiti notevoli

 

III) Altro esercizio: limite con Taylor o con i limiti notevoli

 

IV) Limite fratto con coseno e Taylor-Mc Laurin

 

V) Limite con differenza di infinitesimi dello stesso ordine e Taylor-Mc Laurin

 

VI) Limite fratto da calcolare con Mc Laurin

 

VII) Un po' di chiarimenti sull'uso di Taylor-Mac Laurin nei limiti, con esercizio

 

VIII) Esercizio di approccio sul calcolo di un limite con Taylor

 

IX) Importanza della scelta dell'ordine di sviluppo nei limiti con Taylor-Mc Laurin

 

X) Limite con Taylor-Mc Laurin e prodotto

 

XI) Limite con differenza nascosta che richiede l'uso di Taylor-Mc Laurin

 

XII) Limite fratto con funzioni varie e applicazione di Taylor-Mc Laurin

 

XIII) Limite fratto con radice, esponenziale e seno e Taylor-Mc Laurin

 

XIV) Limite fratto con Taylor-Mc Laurin e seno, esponenziale e coseno

 

XV) Limite con sviluppo di Taylor per una funzione composta

 

XVI) Limite fratto con diversi tipi di sviluppo

 

XVII) Limite fratto con Taylor, logaritmo ed esponenziali

 

XVIII) Limite fratto per sostituzione e con sviluppi di Taylor-Mc Laurin

 

XIX) Limite con applicazione degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin

 

XX) Limite con Mc Laurin e differenza di seni e coseni

 

XXI) Limite fratto con Taylor-Mc Laurin, arcotangente seno e coseno

 

XXII) Limite con sviluppo di Taylor-Mc Laurin composto

 

XXIII) Limite fratto con Taylor-Mc Laurin e composizione

 

XXIV) Limite con Taylor-Mc Laurin e differenza di radici

 

XXV) Limite con Taylor-Mc Laurin e radici di radici

 

XXVI) Limite con funzioni goniometriche, inverse e Taylor-Mc Laurin

 

 

Lezione correlata

 

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