Esercizi risolti limiti con confronto tra infinitesimi

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Qui di seguito potete mettervi alla prova con una raccolta di esercizi svolti sui limiti con confronto tra infinitesimi e con gli ordini di infinitesimo.

 

Potete consultare la lezione correlata, con la teoria e tutte le spiegazioni del caso, direttamente da qui: gerarchia degli infinitesimi. Se non l'avete già fatto vi consigliamo di prendervi un buon quarto d'ora per rimediare... :D perché gli esercizi che seguono richiedono una discreta dimestichezza con la teoria degli ordini di infinitesimi.

 

Più precisamente, come abbiamo spiegato nella lezione di riferimento, è possibile confrontare gli infinitesimi in due modi equivalenti: la prima tecnica è quella che prende il nome di principio di eliminazone degli infinitesimi di ordine inferiore, mentre la seconda presuppone di saper riconoscere e classificare gli ordini di infinitesimo ad occhio (ed è quella cui faremo riferimento in questa scheda). Se non vi sentite sufficientemente sicuri vi suggeriamo di ripartire dalla scheda di esercizi risolti sui limiti con le messe in evidenza e di tornare successivamente qui. :)

 

Alcuni esercizi svolti sui limiti con confronto tra infinitesimi

 

Nei seguenti esercizi vi chiediamo di calcolare il valore di ciascun limite individuando ad occhio l'infinitesimo di ordine principale... ma con un avvertimento. Prima di arrivare al punto è necessario svolgere del lavoro algebrico, o eventualmente applicare le tecniche di calcolo già note (come ad esempio i limiti notevoli), per mettersi nella condizione di confrontare gli ordini di infinitesimo coinvolti.

 

I) \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-1}

 

II) \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+5)}-\ln{(5)}}{x}}

 

III) \lim_{x\to -2 }\frac{\sqrt[3]{x^{3}+8}}{\sqrt[3]{x^{2}-4}}

 

IV) \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}+1-e^x}}

 

V) \lim_{x\to-\infty }e^{\frac{2^{3x}-3^{2x}+4^{2x}}{8^x}}

 

VI) \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)-x^3\sin(x)}{\sqrt{x}-x}

 

VII) \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{x}{\ln(x)}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+x\ln(x)}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Limite di una funzione razionale con confronto tra infinitesimi

 

II) Limite fratto con confronto tra infinitesimi e limite notevole

 

III) Limite fratto con radici e infinitesimi

 

IV) Limite fratto con confronto tra infinitesimi e stime asintotiche

 

V) Limite con ordini di infinitesimo di funzioni esponenziali

 

VI) Limite fratto con confronto tra diversi ordini di infinitesimo

 

VII) Limite fratto con infinitesimi, radici e logaritmi

 

 

Lezione correlata

 

Tags: scheda di esercizi svolti sui limiti con confronto tra infinitesimi.

 

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