Esercizi risolti funzioni continue con parametro

La raccolta di questa pagina costituisce una selezione di esercizi risolti sullo studio della continuità delle funzioni parametriche, tipologia di esercizi tipica degli esami universitari di Analisi 1 come pure delle prove d'esame nelle scuole superiori.

Chi volesse variare la propria preparazione e dedicarsi ad una dieta equilibrata può cimentarsi anche con gli esercizi risolti sui limiti parametrici e con gli esercizi risolti su continuità e discontinuità. ;)

Esercizi svolti sulle funzioni continue con parametro

I) Determinare i valori del parametro reale affinché la seguente funzione sia continua in ogni punto.

$f(x)=\begin{cases}x^2\ \ \ \mbox{se } x\leq 3\\ kx\ \ \ \mbox{se } x>3\end{cases}$

II) Per quale valore del parametro reale la seguente funzione è continua su tutto $\mathbb{R}$

$f(x)=\begin{cases}ax-3\ \ \ \mbox{se } x<0\\ 2x+1\ \ \ \mbox{se } x\geq 0\end{cases}$

III) Determinare il valore del parametro reale per cui la seguente funzione risulta continua in

$f(x)=\begin{cases}2-\sqrt{x}\ \ \ \mbox{se } x\geq 0\\ 4(x+a)\ \ \ \mbox{se } x<0\end{cases}$

IV) Determinare gli eventuali valori del parametro reale per cui la seguente funzione presenti in $x=\frac{1}{2}$ un punto di discontinuità di seconda specie, e classificare le altre discontinuità della funzione.

$f(x)=\frac{x+3}{4x^{2}-ax}$

V) Stabilire per quali valori del parametro reale la seguente funzione risulta continua

$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+2}&\mbox{ se }-2\le x\le 0\\ x^2+2ax+a &\mbox{ se }x>0\end{cases}$

VI) Studiare la continuità della seguente funzione e trovare il valore della costante che la rende continua.

$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin(x^{2})}{1-\cos(x)}\ \ \ \mbox{se }\ x\neq 0\\ a\ \ \ \mbox{se }\ x=0\end{cases}$

VII) Stabilire se esistono dei valori dei parametri reali tali per cui la seguente funzione risulti continua nell'intervallo chiuso e in caso affermativo determinare la relazione che lega $a\mbox{ e }b$ .

$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}\ \ \ \mbox{se }x\in \left[0, \frac{1}{2}\right]\\ ax^2+bx\ \ \ \mbox{se }x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right]\end{cases}$

VIII) Per quali valori di $a,b\in\mathbb{R}$ la seguente funzione è continua?

$y=\begin{cases}ax^2+b\mbox{ per }x\geq 0\\ \log(ax+b)\mbox{ per }x<0\end{cases}$

IX) Studiare la continuità della seguente funzione definita a tratti al variare dei parametri $a,b\in\mathbb{R}$

$y=\begin{cases}e^x-1\ \mbox{ se }\ x\geq 0\\ ax^2+bx\ \mbox{ se }\ x<0\end{cases}$

X) Determinare gli eventuali valori dei parametri reali per cui la seguente funzione risulta continua su tutto $\mathbb{R}$ .

$f(x)=\begin{cases}g^x+a\ \ \ \mbox{se }x<\frac{1}{3}\\ |\log_{\frac{1}{3}}(x)|\ \ \ \mbox{se }x\ge \frac{1}{3} \end{cases}$

XI) Determinare per quali valori dei parametri reali la funzione è continua in tutto il suo dominio.

$f(x)=\begin{cases}\frac{a}{2-x}\ \ \mbox{ se }x<1\\ b\mbox{ se }x=1\\ ax^2+x+b\ \ \mbox{ se }x>1\end{cases}$

XII) Determinare i valori delle costanti reali in modo tale che la seguente funzione risulti continua.

$f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})}{\log(1+x)}\ \ \mbox{ se }x>0\\ a\ \ \mbox{ se }x=0\\ a x+b\ \ \mbox{ se }x<0\end{cases}$

XIII) Determinare i valori delle costanti reali in modo tale che la seguente funzione risulti continua.

$f(x)=\begin{cases}\frac{\log(1+\sin^2(a x))}{x^2}\ \ \mbox{ se }x<0\\ b\ \ \mbox{ se }x=0\\ \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}+4\ \ \mbox{ se }x>0\end{cases}$

XIV) Stabilire per quali valori del parametro reale la seguente funzione risulta continua.

$\begin{cases}a-\frac{2}{3}\sin(x)\ \ \mbox{ se } x>\frac{3}{2}\pi \in [0, 2\pi]\\ 2\cos(x)+a \sin(x)\ \ \mbox{se }x<\frac{3}{2}\pi \in [0, 2\pi]\end{cases}$

XV) Per quale valore del parametro reale la seguente funzione è continua?

$f(x)=\begin{cases}\frac{1-\cos(x-1)}{(x-1)\arctan(a(x^2-1))}\ \ \mbox{ se }x\neq 1\\ 1\ \ \mbox{ se }x=1\end{cases}$

XVI) Stabilire per quali valori del parametro reale la seguente funzione ha una discontinuità di seconda specie in .

$y= \ln\left(\frac{4x-a}{8+a x}\right)$

XVII) Studiare al variare del parametro reale $\gamma$ la continuità della seguente funzione, classificando eventuali punti di discontinuità.

$f(x)=|x-1|^{\gamma}\left[\sin{\left(\frac{1}{x-1}\right)}+2\right]$

XVIII) Determinare i valori dei parametri reali in modo tale che la seguente funzione risulti continua.

$f(x):=\begin{cases}\sqrt{|x|}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1-\cos(a x\sqrt{|x|})}{|x|^3}\ \ \mbox{ se }x<0\\ b\ \ \mbox{ se }x=0\\ \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{x}}+2\ \ \mbox{ se }x>0\end{cases}$

XIX) [Avanzato] Al variare dei parametri reali positivi si consideri la funzione reale di variabile reale

$f(x)=\begin{cases}\frac{e^{\sqrt[3]{1+2x}}-e}{x} \\a\left(\ln(\cosh x)\right)^b \ln(\cosh\frac{1}{x})\end{cases}\left\begin{matrix}x<0 \\ x>0\end{cases}$