Esercizi risolti funzioni continue con parametro

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La raccolta di questa pagina costituisce una selezione di esercizi risolti sullo studio della continuità delle funzioni parametriche, tipologia di esercizi tipica degli esami universitari di Analisi 1 come pure delle prove d'esame nelle scuole superiori.

 

Chi volesse variare la propria preparazione e dedicarsi ad una dieta equilibrata può cimentarsi anche con gli esercizi risolti sui limiti parametrici e con gli esercizi risolti su continuità e discontinuità. ;)

 
 
 

Esercizi svolti sulle funzioni continue con parametro

 

I) Determinare i valori del parametro reale k affinché la seguente funzione sia continua in ogni punto.

 

f(x)=\begin{cases}x^2\ \ \ \mbox{se } x\leq 3\\ kx\ \ \ \mbox{se } x>3\end{cases}

 

II) Per quale valore del parametro reale a la seguente funzione è continua su tutto \mathbb{R}

 

f(x)=\begin{cases}ax-3\ \ \ \mbox{se } x<0\\ 2x+1\ \ \ \mbox{se } x\geq 0\end{cases}

 

III) Determinare il valore del parametro reale a per cui la seguente funzione risulta continua in x=0

 

f(x)=\begin{cases}2-\sqrt{x}\ \ \ \mbox{se } x\geq 0\\ 4(x+a)\ \ \ \mbox{se } x<0\end{cases}

 

IV) Determinare gli eventuali valori del parametro reale a per cui la seguente funzione presenti in x=\frac{1}{2} un punto di discontinuità di seconda specie, e classificare le altre discontinuità della funzione.

 

f(x)=\frac{x+3}{4x^{2}-ax}

 

V) Stabilire per quali valori del parametro reale a la seguente funzione risulta continua

 

f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+2}&\mbox{ se }-2\le x\le 0\\ x^2+2ax+a &\mbox{ se }x>0\end{cases}

 

VI) Studiare la continuità della seguente funzione e trovare il valore della costante a che la rende continua.

 

f(x)=\begin{cases}\frac{\sin(x^{2})}{1-\cos(x)}\ \ \ \mbox{se }\ x\neq 0\\ a\ \ \ \mbox{se }\ x=0\end{cases}

 

VII) Stabilire se esistono dei valori dei parametri reali a,b tali per cui la seguente funzione risulti continua nell'intervallo chiuso [0,1] e in caso affermativo determinare la relazione che lega a\mbox{ e }b.

 

f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}\ \ \ \mbox{se }x\in \left[0, \frac{1}{2}\right]\\ ax^2+bx\ \ \ \mbox{se }x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right]\end{cases}

 

VIII) Per quali valori di a,b\in\mathbb{R} la seguente funzione è continua?

 

y=\begin{cases}ax^2+b\mbox{ per }x\geq 0\\ \log(ax+b)\mbox{ per }x<0\end{cases}

 

IX) Studiare la continuità della seguente funzione definita a tratti al variare dei parametri a,b\in\mathbb{R}

 

y=\begin{cases}e^x-1\ \mbox{ se }\ x\geq 0\\ ax^2+bx\ \mbox{ se }\ x<0\end{cases}

 

X) Determinare gli eventuali valori dei parametri reali g,a per cui la seguente funzione risulta continua su tutto \mathbb{R}.

 

f(x)=\begin{cases}g^x+a\ \ \ \mbox{se }x<\frac{1}{3}\\ |\log_{\frac{1}{3}}(x)|\ \ \ \mbox{se }x\ge \frac{1}{3} \end{cases}

 

XI) Determinare per quali valori dei parametri reali a,b la funzione f(x) è continua in tutto il suo dominio.

 

f(x)=\begin{cases}\frac{a}{2-x}\ \ \mbox{ se }x<1\\ b\mbox{ se }x=1\\ ax^2+x+b\ \ \mbox{ se }x>1\end{cases}

 

XII) Determinare i valori delle costanti reali a,b in modo tale che la seguente funzione risulti continua.

 

f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})}{\log(1+x)}\ \ \mbox{ se }x>0\\ a\ \ \mbox{ se }x=0\\ a x+b\ \ \mbox{ se }x<0\end{cases}

 

XIII) Determinare i valori delle costanti reali a,b in modo tale che la seguente funzione risulti continua.

 

f(x)=\begin{cases}\frac{\log(1+\sin^2(a x))}{x^2}\ \ \mbox{ se }x<0\\ b\ \ \mbox{ se }x=0\\ \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}+4\ \ \mbox{ se }x>0\end{cases}

 

XIV) Stabilire per quali valori del parametro reale a la seguente funzione risulta continua.

 

\begin{cases}a-\frac{2}{3}\sin(x)\ \ \mbox{ se } x>\frac{3}{2}\pi \in [0, 2\pi]\\ 2\cos(x)+a \sin(x)\ \ \mbox{se }x<\frac{3}{2}\pi \in [0, 2\pi]\end{cases}

 

XV) Per quale valore del parametro reale a la seguente funzione è continua?

 

f(x)=\begin{cases}\frac{1-\cos(x-1)}{(x-1)\arctan(a(x^2-1))}\ \ \mbox{ se }x\neq 1\\ 1\ \ \mbox{ se }x=1\end{cases}

 

XVI) Stabilire per quali valori del parametro reale a la seguente funzione ha una discontinuità di seconda specie in x=1.

 

y= \ln\left(\frac{4x-a}{8+a x}\right)

 

XVII) Studiare al variare del parametro reale \gamma la continuità della seguente funzione, classificando eventuali punti di discontinuità.

 

f(x)=|x-1|^{\gamma}\left[\sin{\left(\frac{1}{x-1}\right)}+2\right]

 

XVIII) Determinare i valori dei parametri reali a,b in modo tale che la seguente funzione risulti continua.

 

f(x):=\begin{cases}\sqrt{|x|}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1-\cos(a x\sqrt{|x|})}{|x|^3}\ \ \mbox{ se }x<0\\ b\ \ \mbox{ se }x=0\\ \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{x}}+2\ \ \mbox{ se }x>0\end{cases}

 

XIX) [Avanzato] Al variare dei parametri reali positivi a,b si consideri la funzione reale di variabile reale

 

f(x)=\begin{cases}\frac{e^{\sqrt[3]{1+2x}}-e}{x} \\a\left(\ln(\cosh x)\right)^b \ln(\cosh\frac{1}{x})\end{cases}\left\begin{matrix}x<0 \\ x>0\end{cases}

 

Stabilire per quali coppie (a,b) la funzione f_{a,b} è prolungabile con continuità nell'origine.

 

XX) [Avanzato] Determinare per quale a\in\mathbb{R} la seguente funzione è continua

 

f(x)= (a x-[x])(a x-[-x])

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Semplice esercizio sullo studio della continuità di una funzione parametrica definita a tratti

 

II) Funzione parametrica definita a tratti lineari e continuità

 

III) Trovare i valori del parametro che rendono la funzione continua

 

IV) Individuare i punti di discontinuità di una funzione fratta con parametro

 

V) Esercizio continuità di una funzione definita a tratti con parametro

 

VI) Esercizio sulla continuità di una funzione con parametro e definita a tratti

 

VII) Continuità di una funzione definita a tratti con due rami e due parametri

 

VIII) Continuità di una funzione a tratti con due parametri

 

IX) Esercizio continuità di una funzione definita a tratti con due parametri

 

X) Esercizio sulla continuità di una funzione parametrica con due parametri

 

XI) Studio della continuità di una funzione a tratti con due parametri e tre rami

 

XII) Altro esercizio sulla continuità di una funzione definita a tratti con tre rami e due parametri

 

XIII) Studiare la continuità di una funzione parametrica con 3 rami

 

XIV) Esercizio sulla continuità di una funzione definita da due rami trigonometrici

 

XV) Continuità di una funzione parametrica con coseno e arcotangente

 

XVI) Valori di un parametro per cui una funzione ha una discontinuità di seconda specie

 

XVII) Studiare la continuità di una funzione al variare di un parametro

 

XVIII) Esercizio su funzione continua con tre rami e due parametri

 

XIX) Esercizio funzione prolungabile con continuità con parametro

 

XX) Studiare la continuità di una funzione con parametro e parte intera

 

 

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