Esercizi risolti continuità e discontinuità
Benvenuti nella pagina dedicata alla raccolta di esercizi risolti sulla continuità e sulle discontinuità delle funzioni!
Oltre agli esercizi che seguono, avete a disposizione anche:
- una scheda di esercizi proposti sulle funzioni continue e due schede di esercizi proposti sui punti di discontinuità;
- una scheda di esercizi svolti sulla continuità di funzioni parametriche;
Esercizi svolti su continuità e discontinuità
Risolvere i seguenti esercizi facendo riferimento alla teoria relativa alla nozione di funzione continua, alla classificazione dei punti di discontinuità e al metodo pratico per studiare la continuità di una funzione.
I) Dimostrare che la funzione che è continua nel punto
.
II) Studiare la continuità della funzione .
III) Studiare i punti di discontinuità della funzione
IV) Classificare i punti di discontinuità della funzione
V) Stabilire se la seguente funzione è continua in
VI) Stabilire se la seguente funzione presente un punto di discontinuità in e, in caso affermativo, individuare il tipo di discontinuità
e se è continua in la funzione
VII) Studiare e classificare gli eventuali punti di discontinuità delle seguenti funzioni
VIII) Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) la funzione ha in
una discontinuità eliminabile;
b) ha una discontinuità di seconda specie in
.
IX) Studiare la continuità della seguente funzione e stabilire la specie degli eventuali punti di discontinuità
X) Stabilire se la seguente funzione è continua nel punto
XI) Studiare le eventuali discontinuità delle funzioni definite a tratti
XII) Individuare e classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione definita per rami
XIII) Studiare la continuità della funzione
XIV) Studiare la continuità della funzione definita a tratti
XV) Studiare la continuità e le eventuali discontinuità della funzione
XVI) [Approfondimento] Verificare se la seguente funzione è prolungabile con continuità nel punto
Suggerimento: in caso di necessità studiare o ripassare la nozione di prolungamento con continuità di una funzione.
XVII) [Approfondimento] È possibile estendere per continuità la seguente funzione?
XVIII) [Approfondimento] Studiare la continuità e classificare le eventuali discontinuità della funzione
XIX) [Approfondimento] È possibile estendere la seguente funzione per continuità da destra in E se sì, come?
XX) [Teorico] Dimostrare che una qualsiasi funzione lineare è continua in ogni punto del proprio dominio.
XXI) [Teorico] Dimostrare che una funzione esponenziale della forma è continua sul proprio dominio.
XXII) [Teorico] Dimostrare che una funzione logaritmica della forma è continua sul proprio dominio.
XXIII) [Teorico] Sapendo che la funzione soddisfa le seguenti disuguaglianze:
verificare che la funzione sia continua in zero.
Svolgimenti e soluzioni
II) Studiare la continuità della funzione 1/x
III) Esercizio: studiare la continuità di una funzione logaritmica
IV) Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione razionale
V) Esercizio sulla verifica della continuità di due funzioni in un punto
VI) Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione fratta con valore assoluto
VII) Esercizio sulle discontinuità di tre funzioni con modulo
VIII) Esercizio sul tipo di discontinuità di due funzioni in determinati punti
IX) Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione fratta
X) Stabilire se una funzione definita a tratti è continua
XI) Studio della continuità e dei punti di discontinuità di due funzioni definite a tratti
XII) Studiare la continuità di una funzione definita a tratti con tre rami
XIII) Studiare la continuità di una funzione definita a tratti con valore assoluto
XIV) Esercizio sulla continuità di una funzione estesa in un punto
XV) Esercizio sul tipo di discontinuità di una funzione con modulo, logaritmo ed esponenziale
XVI) [Spiegazione] Come prolungare una funzione per continuità in un punto
XVII) Esercizio sul prolungamento per continuità di una funzione in un punto
Ulteriore svolgimento - Esercizio: estendere una funzione per continuità in due punti
XVIII) Esercizio sulla continuità di una funzione definita a tratti e prolungamento per continuità
XIX) [Spiegazione] Prolungamento per continuità solo da destra
XX) Dimostrare che una funzione lineare è continua
XXI) Dimostrare che l'esponenziale è una funzione continua
XXII) Dimostrare che il logaritmo è una funzione continua
XXIII) Esercizio teorico sulla continuità di una funzione incognita
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