Esercizi risolti limiti per sostituzione

Partendo da questa scheda potete consultare una raccolta esercizi risolti sul calcolo dei limiti per sostituzione. Attenzione: state leggendo la terza scheda di pre-riepilogo (le precedenti sono quelle relative agli esercizi sui limiti per razionalizzazione e gli esercizi sui limiti con trucchi algebrici).

 

In generale la tecnica di calcolo dei limiti mediante sostituzioni è del tutto opzionale e fa riferimento al teorema sui limiti per sostituzione, che abbiamo presentato in termini generali nella lezione correlata. Nella pratica la tecnica per sostituzione consente di agevolare il procedimento risolutivo e di rendere più accessibili le altre strategie di calcolo (come ad esempio l'uso dei limiti notevoli), ma non è mai obbligatoria. Chiunque abbia già svolto un buon numero di esercizi e, di conseguenza, abbia già sviluppato il cosiddetto occhio clinico, può tranquillamente tralasciarla.

 

In termini didattici è comunque utile (per tutti!) provare a calcolare qualche limite per sostituzione, in modo da aggiungere un'ulteriore freccia alla propria faretra. Non si sa mai quel che può capitare in sede d'esame... ;) In questo senso questa scheda di esercizi è pre-riepilogativa perché richiede di conoscere tutte le altre tecniche di calcolo dei limiti. :)

 

Esercizi svolti sui limiti per sostituzione

 

Risolvere i seguenti limiti applicando il teorema di sostituzione, per poi applicare opportunamente gli altri metodi di calcolo dei limiti.

 

I) \lim_{x\to \infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}}

 

II) \lim_{x\to e}\frac{\ln(x)-1}{x-e}

 

III) \lim _{x\to 1} \frac{e^x - e }{ 2x - 2}

 

IV) \lim_{x \to \pi}{\frac{\sin(x)}{x-\pi}}

 

V) \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{x}}

 

VI) \lim_{x\to 0}\sqrt{x}\ln{^{3}x}

 

VII) \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}{\frac{(2x-\pi)\cos{x}}{x(1-\sin{x})}}

 

VIII) \lim_{x\to (-1)^+}\frac{\ln(x+1)}{-2-\ln(x+1)}

 

IX) \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{3\sin^2(x)+\sin(x)-4}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}

 

X) \lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{\ln^2(x)}{2}-\ln^2(3)\ln|\ln(x)|\right)

 

XI) \lim_{x\to 1}\frac{1+\cos(\pi x)}{x^2-2x+1}

 

XII) \lim_{x\to 1}\frac{e^{x}-e}{\sqrt{1+(x-1)}-1}

 

XIII) \lim_{x\to -2}(1+\ln(3+x))^{\frac{1}{\sin(\pi x)}}

 

XIV) \lim_{x\to \pi}\frac{\cos(x)+1}{\cos(3x)+1}

 

XV) \lim_{x\to+\infty}{\frac{\sqrt{\frac{2x-1}{x-1}} - \sqrt{2}}{\frac{1}{x}}}

 

XVI) \lim_{x\to \pi}\frac{(2+\cos(x))^3-1}{\ln(1+\sin(x))}

 

XVII) \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)^{\frac{2}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\ln\left(3\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\right)

 

 

Svolgimenti e soluzioni 

 

I) Semplice limite fratto per sostituzione 

 

II) Limite fratto con sostituzione per ricondursi ai limiti notevoli

 

III) Limite per sostituzione per applicare i limiti notevoli

 

IV) Esercizio con limite fratto, seno e sostituzione

 

V) Limite fratto per sostituzione e confronto tra infiniti

 

VI) Limite di xln(x) per sostituzione

 

VII) Limite trigonometrico per sostituzione

 

VIII) Limite fratto con sostituzione logaritmica

 

IX) Altro limite goniometrico per sostituzione

 

X) Limite per sostituzione con logaritmi ed infiniti

 

XI) Altro limite trigonometrico per sostituzione

 

XII) Limite per sostituzione con limiti notevoli

 

XIII) Esercizio su limite con logaritmo e seno per sostituzione

 

XIV) Limite trigonometrico con coseni per sostituzione

 

XV) Limite per sostituzione con trucchi algebrici

 

XVI) Esercizio su limite per sostituzione con x tendente a pi greco

 

XVII) Esercizio su limite con seno, coseno e logaritmo per sostituzione

 

 

Lezione correlata

 

Tags: scheda di esercizi svolti sul calcolo dei limiti per sostituzione.

 

pba1