Esercizi risolti limiti da sinistra e da destra

Gli esercizi svolti sui limiti da sinistra e da destra riguardano, in parole povere, il calcolo dei limiti al tendere di x ad un dato valore da sinistra (con il meno) e da destra (con il più).

 

In una delle prime lezioni abbiamo introdotto il calcolo dei limiti da sinistra e da destra da un punto di vista pratico, mostrando come gestire gli infiniti e infinitesimi. Badate bene però che i limiti da sinistra e da destra possono richiedere qualsiasi altra strategia di calcolo.

 

Potete considerare la qui presente come una scheda di pre-riepilogo, perché richiede la conoscenza delle varie tecniche di calcolo dei limiti. In particolare è la quarta scheda pre-riepilogativa. Potete consultare le precedenti tre qui:

 

- esercizi sui limiti per razionalizzazione

 

- esercizi sui limiti con trucchi algebrici

 

- esercizi sui limiti per sostituzione

 
 
 

Esercizi svolti sui limiti da sinistra e da destra

 

Lo scopo della scheda di esercizi sui limiti da sinistra e da destra consiste nel permettere al lettore di sviluppare la giusta sensibilità, in un'ottica generale, rispetto ai limiti da sinistra e da destra, a fronte dell'applicazione di qualsiasi tecnica di calcolo dei limiti. Gli obiettivi sono molteplici: da un lato, mettere in luce i ragionamenti da effettuare quando il calcolo va effettuato solo da destra o da sinistra; dall'altro, acquisire la sensibilità necessaria per capire in quali casi la discriminante da sinistra o da destra è rilevante o no.

 

Niente paura: le uniche criticità riguardano gli infiniti e gli infinitesimi, come spiegato nella lezione di riferimento. Tutte le altre tecniche si applicano senza particolari modifiche. ;)

 

Nota bene: in certi casi per calcolare un limite bilatero e per studiarne l'esistenza è necessario suddividere il calcolo tra limite destro e sinistro, come spiegato nella lezione teorica.

 

I) \lim_{x\to 1}{\frac{x^2}{x-1}}

 

II) \lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt[5]{x}}{e^{\frac{1}{x}}}}

 

III) \lim_{x\to (-2)^+}\frac{|\log(x+2)|}{x+2}

 

IV) \lim_{x\to(-1)}\frac{x-3}{x^{2}-x-2}

 

V) \lim_{x\to (-e)}\frac{x}{1-\log(|x|)}

 

VI) \lim_{x\to 1}(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}

 

VII) \lim_{x\to 0^{\pm}}{\frac{\sin{(3x)}+\sin{(5x)}}{1-\cos{(8x)}}}

 

VIII) \lim_{x\to (-\sqrt{3})^{\pm}}{\frac{e^{2x}}{\sqrt{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}}}

 

IX) \lim_{x\to (-2)^{-}}{\log{\left(\frac{(x^2+2x-8)}{x+2}\right)}}

 

X) \lim_{x\to 0}{\left[1+e^{\frac{1}{x^4}}\right]^{-1}}

 

XI) \lim_{x\to (-3)^{-}}\frac{e^{\frac{x}{x+3}}-x^2+9}{x^3-7x+6}

 

XII) \lim_{x\to (-\log{(4)}+2)^{-}}{\frac{e^{-2x+4}}{e^{-x+2}-4}}

 

XIII) \lim_{x\to \ln(2)} \frac{e^{2x}+1}{4-e^{2x}}

 

XIV) \lim_{x \to 0 }2^{\frac{1}{x}}\log(\cos(x))

 

XV) \lim_{x\to \frac{\pi}{3}^+} \left(e^{\frac{1}{2 \cos(x) - 1} }\right)

 

XVI) \lim_{x\to 0}{\frac{2^{-\frac{1}{x}}}{x}}

 

XVII) \lim_{x\to 1}{(x-1)e^{\frac{1}{x-1}}}

 

XVIII) \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-x}{\ln(x)}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Semplice esercizio in cui bisogna specificare il calcolo del limite da sinistra e da destra

 

II) Limite sinistro e destro di un prodotto con radice ed esponenziale

 

III) Limite da destra con infiniti e infinitesimi

 

IV) Un classico: esercizio sul limite da sinistra e da destra di una funzione razionale

 

V) Considerazioni sull'influenza dei segni + e - nei limiti da destra e da sinistra

 

VI) Altro esercizio con limite da sinistra e da destra e infiniti ed infinitesimi

 

VII) Limite da sinistra e da destra con i limiti notevoli

 

VIII) Esercizio su un limite da destra e da sinistra

 

IX) Limite da sinistra con logaritmo di una funzione fratta

 

X) Esercizio con limite e distinzione da destra e da sinistra

 

XI) Esercizio con limite da sinistra e funzione fratta mista

 

XII) Limite da sinistra con funzione fratta ed esponenziali

 

XIII) Esercizio con limite da destra e da sinistra per x tendente a ln(2)

 

XIV) Esercizio con limite e distinzione da sinistra e da destra

 

XV) Limite da destra di una funzione esponenziale e trigonometrica

 

XVI) Esercizio con limite da sinistra e da destra che richiede tecniche diverse

 

XVII) Esercizio sul limite di un prodotto da sinistra e da destra

 

XVIII) Limite da destra con trucchetto algebrico e limiti notevoli

 

 

 

Lezione correlata


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