Esercizi limiti con de l'Hôpital

In questa pagina vi proponiamo un po' di esercizi sul teorema di de l'Hôpital. Se sapete quando applicare il teorema di de l'Hôpital nel calcolo dei limiti, usarlo è molto semplice: ne abbiamo parlato nell'omonima lezione.

 

Nota bene: come abbiamo spiegato nella lezione di riferimento, alle scuole superiori il teorema di de l'Hôpital viene ampiamente utilizzato e accettato senza particolari pretese da parte dei professori. All'università invece parecchi docenti non amano questo metodo di calcolo dei limiti e arrivano, in certi casi, a vietarne l'utilizzo. Tenetelo a mente. ;)

 

Dopo aver affrontato gli esercizi di questa scheda vi suggeriamo di mettervi alla prova con gli esercizi risolti sui limiti con de l'Hôpital.

 
 
 

Esercizi sul calcolo di limiti con il teorema di De l'Hôpital


Provate a risolvere i seguenti esercizi calcolando i limiti mediante il teorema di de l'Hôpital, e in caso di necessità fate riferimento ai suggerimenti proposti di volta in volta. A fondo pagina potete consultare le relative soluzioni; dato che non vogliamo farvi mancare niente, qualora fosse possibile o conveniente nei suggerimenti viene anche indicato un metodo alternativo di risoluzione. ;)


I) \lim_{x\to -1}{\frac{x^2-1}{x+1}}

 

Alternativa: si può anche risolvere con una scomposizione (differenza di quadrati) e una semplificazione.

 

II) \lim_{x\to +\infty}{\frac{2x^2+4x-1}{4x^2-5x+1}}

 

Suggerimento: con de l'Hôpital applicato due volte. In alternativa basta un confronto tra infiniti.

 

III) \lim_{x\to +\infty}{\frac{2e^x+5}{6-4e^x}}

 

Alternativa: confronto tra infiniti.

 

IV) \lim_{x\to 0^{\pm}}{\frac{\arctan{\left(1+x^2\right)}-\frac{\pi}{4}}{\sin{(x)}}}

 

Nota: non ci sono alternative più comode.

 

V) \lim_{x\to 0^+}{\frac{\ln{\left(\ln{(x+1)}\right)}}{\ln{(x)}}}

 

Suggerimento: con de l'Hôpital due volte, in alternativa un limite notevole.

 

VI) \lim_{x\to 1^+}{\frac{\sin{\left(\sqrt{x^2-1}\right)}}{\ln{\left(x+3\sqrt{x^2-1}\right)}}}

 

Alternativa: si può raccogliere la x nell'argomento del logaritmo, usare una nota proprietà dei logaritmi e poi ricorrere ai limiti notevoli.

 

VII) \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}-\ln{\left(\cos{(x)}\right)}}{x^2}} (come due limiti, distingui 0- e 0+)

 

Alternativa: spezzare la frazione, usare un limite notevole sul primo addendo, aggiungere e togliere 1 nell'argomento del logaritmo e usare in altro limite notevole.

 

VIII) \lim_{x\to (-1)^+}{\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}x\right)}+1}{\sqrt[4]{1-x^2}}}

 

 

Soluzioni

 

I) -2

 

II) \frac{1}{2}

 

III) -\frac{1}{2}

 

IV) 0

 

V) 1

 

VI) \frac{1}{3}

 

VII) \pm \infty

 

VIII) 0

 

 


 

In caso di necessità non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di risorse e di esercizi svolti: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata


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