Esercizi svolti limiti con infiniti e infinitesimi - Scheda 3

Benvenuti nella terza scheda di esercizi svolti sui limiti con infiniti e infinitesimi. Se siete finiti qui per caso e non avete ancora letto la prima scheda di esercizi svolti su infiniti e infinitesimi vi suggeriamo caldamente di farlo, perché lì abbiamo fatto il punto della situazione e spiegato come si inserisce l'algebra di infiniti e infinitesimi tra le varie tecniche di calcolo dei limiti.

Prima di proseguire, un rapido riepilogo delle schede di esercizi correlate. Oltre a quella che state leggendo (scheda 3) e a quella introduttiva (scheda 1), avete a disposizione altre due schede di esercizi risolti:

- esercizi sui limiti con infiniti e infinitesimi - scheda 2, svolti

- esercizi risolti sui limiti con infiniti e infinitesimi - scheda 4, svolti

Esercizi svolti sui limiti con infiniti e infinitesimi - Scheda 3

Dato che nelle precedenti schede ci siamo dilungati a sufficienza sugli aspetti delicati del metodo di applicazione dell'algebra di infiniti e infinitesimi, qui ci limitiamo a rammentarvi che per risolvere agevolmente gli esercizi è necessario ricordare i limiti fondamentali e aver studiato la lezione sul calcolo dei limiti da sinistra e da destra.

Nel caso il metodo di infiniti e infinitesimi non permettesse di ottenere il risultato, per il momento ci limiteremo a constatare che non disponiamo dei mezzi per effettuare il calcolo. Nel prosieguo delle lezioni e delle schede di esercizi amplieremo il bagaglio di tecniche per il calcolo dei limiti. ;)

I) lim_(x → +∞)(1)/(x^3)

II) lim_(x → 0^(−))(1)/(x^5)

III) lim_(x → 1^(−))(ln(1−x))/(ln(x))

IV) lim_(x → 1^(+))(ln(x+1))/(x^2−2x+1)

V) lim_(x → +∞)(1−(1)/(ln(x)))

VI) lim_(x → +∞)(sin(x)+e^(x))/(ln(((x+1)/(x))))

VII) lim_(x → +∞)(2log_((1)/(3))(x)+3)/(6log_((1)/(4))((x+1)/(x)))

VIII) lim_(x → 0^(+))((1)/(2))^(displaystyle(ln(x))/(e^x))

IX) lim_(x → ((1)/(2))^(±))(−4x)/((4x−2)^2)

X) lim_(x → (−3)^(−))(2e)/(x^(3)+27)

XI) lim_(x → 3^(−))2^((1)/(x−3))

XII) lim_(x → 3^(−))(log_(3)((1)/(x)))/(|x|−3)

Soluzioni e svolgimenti

Nota bene: le uguaglianze riportate negli svolgimento sono da considerarsi come pseudouguaglianze. Sono utili per indicare i ragionamenti da effettuare, ma non trattandosi di uguaglianze rigorose non possono essere riportate negli svolgimenti da bella copia. Nella risoluzione degli esercizi in una verifica o in un esame ci limiteremo a riportare il risultato finale, oppure ad indicare le pseudouguaglianze in modo rigoroso mediante l'operazione di passaggio al limite.

Ad esempio, scrivere in un compito ln(+∞) = +∞ sarebbe un errore formale, mentre è corretto specificare che ln(x) → +∞ al tendere di x → +∞.

I) (1)/((+∞)^3) = (1)/(+∞) = 0^+

II) (1)/((0^−)^5) = (1)/(0^−) = −∞

Attenzione: 0- è una quantità negativa. Abbiamo una potenza di un numero negativo con esponente dispari.

III) (ln(1−1^−))/(ln(1^−)) = (ln(0^+))/(0^−) = (−∞)/(0^−) = +∞

Qui è necessario ricordare il limite fondamentale della funzione logaritmica a destra di zero.

IV) (ln(1^++1))/((1^+)^2−2·1^++1) =

A numeratore la specifica + o - non è rilevante perché non influisce sul risultato: si tratta di una quantità positiva, per cui possiamo pensare a

= (ln(2))/((1^+)^2−2·1^++1)

A denominatore invece serve un'analisi più accurata. Ragionando quantitativamente si intuisce che (1^+)^2 = 1^+ e che 2·1^+ = 2^+, ma poi c'è un'altra somma di mezzo e rischieremmo seriamente di diventare matti tra tutti i + e i - coinvolti.

Cambiamo strategia e scomponiamo il denominatore con la regola del quadrato di un binomio:

x^2−2x+1 = (x−1)^2

Ora è tutto più semplice:

(ln(2))/((1^+−1)^2) = (ln(2))/((0^+)^2) = (ln(2))/(0^+) = +∞

V) 1−(1)/(ln(+∞)) = 1−(1)/(+∞) = 1−0^+ = 1

Nel risultato possiamo indifferentemente scrivere 1 oppure 1-, è irrilevante.

VI) Se proviamo con le pseudo-sostituzioni, ricaviamo

(sin(+∞)+e^(+∞))/(ln((+∞+1)/(+∞))) = (sin(+∞)+∞)/(ln((+∞)/(+∞)))

Anche se a numeratore abbiamo sin(+∞), e anche se sappiamo che il limite del seno a +infinito non esiste, nel nostro caso basta notare che è coinvolto in una somma con un infinito. La funzione seno è pur sempre una funzione limitata tra -1 e +1, per cui

sin(+∞)+∞ = +∞

Il problema riguarda il denominatore: qui possiamo aggirare l'ostacolo dividendo l'argomento del logaritmo termine a termine, e quindi riscrivere il limite nella forma

lim_(x → +∞)(sin(x)+e^(x))/(ln((1+(1)/(x))))

In questo modo otteniamo

(sin(+∞)+e^(+∞))/(ln(1+(1)/(+∞))) = (sin(+∞)+∞)/(ln(1+0^+)) = (+∞)/(ln(1^+)) =

La specifica sul + o - dell'argomento è essenziale perché, ricordando il comportamento della funzione logaritmica e tenendo presente che ln(1) = 0, ne consegue che ln(x) → _(x → 1^+)0^+

= (+∞)/(0^+) = +∞

VII) (2ln_((1)/(3))(+∞)+3)/(6log_((1)/(4))(1+(1)/(+∞))) =

Attenzione al comportamento della funzione logaritmica con base minore di 1

= (2·(−∞)+3)/(6·log_((1)/(4))(1^+)) = (−∞)/(0^−) = +∞

VIII) ((1)/(2))^((log(0^+))/(e^(0^+))) = ((1)/(2))^((−∞)/(1^+)) = ((1)/(2))^(−∞) = +∞

Attenzione al comportamento della funzione esponenziale con base minore di 1.

IX) Qui dobbiamo inevitabilmente separare il calcolo del limite da sinistra e da destra.

Da sinistra:

((−4)·((1)/(2))^−)/((4·((1)/(2))^−−2)) =

Per non sbagliare la specifica sui prodotti conviene ragionare con un approccio quantitativo. Attenzione perché i segni dei fattori rischiano di produrre dei veri e propri disastri quando vengono presi alla leggera!

= ((−2)^+)/((2^−−2)^2) = ((−2)^+)/((0^−)^2) = (−2)/(0^+) = −∞

Da destra:

((−4)·((1)/(2))^+)/((4·((1)/(2))^+−2)^2) = ((−2)^−)/((2^+−2)^2) = ((−2)^−)/((0^+)^2) = (−2)/(0^+) = −∞

Poiché i due limiti sinistro e destro esistono infiniti e valgono entrambi -infinito, concludiamo che il limite bilatero vale −∞.

X) (2e)/(((−3)^−)^3+27) =

Anche in questo caso dobbiamo procedere con i piedi di piombo, perché la potenza a denominatore ha un segno negativo. Dobbiamo calcolare la potenza cubica di una quantità a sinistra di -3, quindi in modulo maggiore di 3. Per farlo possiamo seguire due strade equivalenti:

- adottare un approccio quantitativo;

oppure

- pensare al grafico della funzione potenza con esponente 3 e osservarne il comportamento in un intorno sinistro di -3.

In entrambi i casi ricaviamo

= (2e)/((−27)^−+27) = (2e)/(0^−) = −∞

perché ovviamente il numero di Nepero è positivo.

XI) 2^((1)/(3^−−3)) = 2^((1)/(0^−)) = 2^(−∞) = 0^+

XII) (log_3((1)/(3^−)))/(|3^−|−3) =

Per il numeratore conviene usare la regola per le potenze con esponente negativo e successivamente applicare una ben nota proprietà dei logaritmi

= (log_3((3^−)^(−1)))/(|3^−|−3) = (−log_3(3^−))/(|3^−|−3) =

Al denominatore il valore assoluto può essere omesso perché naturalmente 3->0. Per il resto fate buon uso delle parentesi e non fatevi ingannare: il segno meno a numeratore oppone simmetricamente 1- rispetto a zero, quindi in ottica posizionale...

= (−(1^−))/(3^−−3) = ((−1)^+)/(0^−) = +∞

Per il momento è tutto! Non perdetevi la quarta scheda di esercizi risolti e ricordate che la barra di ricerca interna vi aiuterà a trovare tutto quello che vi serve qui su YM! ;)

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Lezione correlata

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