Esercizi limiti notevoli - Beginner

Gli esercizi che state per leggere servono a farvi prendere confidenza con l'utilizzo dei limiti notevoli nel calcolo dei limiti. Vi trovate alla scheda di esercizi proposti (con soluzioni) di livello Beginner: se gli esercizi sui limiti notevoli dovessero essere troppo semplici, potete sempre consultare:

 

- la scheda di esercizi sui limiti notevoli - livello intermedio

 

- la scheda di esercizi sui limiti notevoli - livello avanzato

 

Oltre a queste ci sono altre due schede di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio:

 

- esercizi risolti sui limiti notevoli 

 

- esercizi sui limiti notevoli con le equivalenze asintotiche

 
 
 

Esercizi sui limiti notevoli - beginner

 

Una premessa importante: nella lezione come usare i limiti notevoli abbiamo spiegato che ci sono due modi per applicare i limiti notevoli nel calcolo dei limiti.

 

Il primo metodo è quello che abbiamo chiamato metodo ingenuo, e prevede di effettuare una serie di operazioni algebriche in modo da ottenere un limite equivalente a quello originario, e sul quale si possano applicare i limiti notevoli alla lettera. Il secondo metodo è il punto di arrivo cui devono approdare tutti gli studenti dopo aver acquisito una sufficiente dimestichezza con l'utilizzo dei limiti notevoli negli esercizi: è il cosiddetto metodo di applicazione dei limiti notevoli per equivalenze asintotiche.

 

Indipendentemente che siate studenti delle scuole superiori o universitari, se siete agli esordi con il calcolo dei limiti vi suggeriamo di affrontare i seguenti esercizi con il metodo ingenuo, per poi passare ad applicare il metodo più avanzato nelle schede intermedia e avanzata.

 

Il primo esercizio è svolto ed ogni esercizio è accompagnato da un piccolo suggerimento per la risoluzione. In fondo trovate le soluzioni.

 

 

0) \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+3x)}{e^{2x}-1}

 

Svolgimento: numeratore e denominatore hanno una faccia nota. Prima di tutto facciamo un'analisi preliminare con le regole di infiniti e infinitesimi e proviamo a valutare l'espressione della funzione in corrispondenza del valore cui tende x. Scriviamo a titolo puramente indicativo:

 

\frac{\log(1+3\cdot 0)}{e^{2\cdot 0}-1}=\frac{\log(1)}{1-1}=\left[\frac{0}{0}\right]

 

Abbiamo dunque una forma indeterminata. Al di là del fatto che in questa scheda sappiamo già di dover risolvere gli esercizi con i limiti notevoli, è bene sapere che molte delle forme di indecisione si risolvono con i limiti notevoli.

 

Guardando l'elenco dei limiti notevoli ne vediamo due che potrebbero tornarci molto utili:

 

\\ \lim_{f(x)\to 0}\frac{\log(1+f(x))}{f(x)}=1\\ \\ \\ \lim_{g(x)\to 0}\frac{e^{g(x)}-1}{g(x)}=1

 

Qui infatti non possiamo usare i limiti notevoli in forma base, ossia quelli in cui compare la sola x. Dobbiamo usare necessariamente i limiti notevoli in forma generale.

 

Le premesse ci sono tutte, perché se consideriamo f(x)=3x e g(x)=2x è facile vedere che entrambe tali funzioni tendono a zero per x\to 0. Possiamo quindi applicare i limiti notevoli

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+3x)}{3x}=1\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x}=1

 

Mettiamoci nella condizione di applicarli. Per quanto riguarda il primo moltiplichiamo e dividiamo l'espressione della funzione per 3x, in modo da passare ad un limite equivalente

 

\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+3x)}{e^{2x}-1}\cdot \frac{3x}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+3x)}{3x}\cdot \frac{3x}{e^{2x}-1}=

 

e ci siamo. Per applicare il secondo limite notevole moltiplichiamo e dividiamo per 2x; ovviamente il limite notevole reciproco ha come risultato il reciproco del risultato del limite notevole originario

 

=\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+3x)}{3x}\cdot \frac{3x}{e^{2x}-1}\cdot \frac{2x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+3x)}{3x}\cdot \frac{2x}{e^{2x}-1}\cdot \frac{3x}{2x}=

 

Ora possiamo semplificare l'ultimo rapporto e applicare i limiti notevoli menzionati in precedenza sui primi due fattori, ottenendo come risultato

 

=1\cdot 1\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{2}

 

Se avessimo voluto calcolare il limite con il metodo dei limiti notevoli mediante equivalenze asintotiche, avremmo potuto ricavare le equivalenze asintotiche dai rispettivi limiti notevoli

 

\\ \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+3x)}{3x}=1\ \ \ \to\ \ \ \log(1+3x)\sim_{x\to 0}3x\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x}=1\ \ \ \to\ \ \ e^{2x}-1\sim_{x\to 0}2x

 

Da qui saremmo passati direttamente al limite equivalente

 

\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+3x)}{e^{2x}-1}=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}

 

 

Esercizi sui limiti notevoli - proposti, livello beginner

 

I) \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{\ln{(1+x)}}}

 

Suggerimento: servono due limiti notevoli.

 

II) \lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos{(x)}}{\ln{(1+x^{2})}}

 

Suggerimento: servono due limiti notevoli.

 

III) \lim_{x\to \frac{5}{2}}{\frac{e^{2x-5}-1}{\sin{\left(2x-5\right)}}}

 

Suggerimento: servono due limiti notevoli.

 

IV) \lim_{x\to \pm\infty}{\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x}}

 

Suggerimento: serve un limite notevole. Per usarlo possiamo moltiplicare e dividere l'esponente per una stessa quantità (2) e sfruttare una ben nota proprietà delle potenze.

 

V) \lim_{x\to 0^+}{\frac{\ln{(1-7x)}}{\sqrt{1-\cos{(x)}}}}

 

Servono due limiti notevoli: attenzione al fatto che nell'argomento compare 1-... e non 1+..., come richiede il limite notevole corrispondente. A tal proposito basta scrivere 1+(-...).

 

VI) \lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt[7]{1+3x}-1}{\sin{(4x)}}}

 

Suggerimento: servono due limiti notevoli.

 

VII) \lim_{x\to 0}{\frac{2x+\sin{(4x)}}{\tan{(x)}}

 

Suggerimento: spezzare il numeratore e poi usare due limiti notevoli.

 

VIII) \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{2}{(1+4x)}}{2^{2x}-1}}

 

Suggerimento: servono due limiti notevoli.

 

IX) \lim_{x\to +\infty}{\frac{\ln{\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}}{\frac{3}{x^{2}}}}

 

Suggerimento: serve un limite notevole. Quando x\to+\infty a che valore tende \frac{1}{x^2}\ ?

 

X) \lim_{x\to 0}{\frac{e^{\frac{3}{4}x}-1}{(1+x)^{\frac{3}{2}}-1}

 

Suggerimento: servono due limiti notevoli.

 

 

Soluzioni

 

I) 1

 

II) \frac{1}{2}

 

III) 1

 

IV) e^{\frac{3}{2}}

 

V) -7\sqrt{2}

 

VI) \frac{3}{28}

 

VII) 6

 

VIII) \frac{2}{\ln^{2}{(2)}}

 

IX) \frac{1}{3}

 

X) \frac{1}{2}

 

 


 

Vi aspettiamo nella scheda di livello intermedio: nel frattempo ricordate che in caso di necessità potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

 

Lezione correlata


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