Esercizi funzioni continue

In questa scheda di esercizi sulle funzioni continue vi proponiamo due tipologie di esercizi: nel primo gruppo vengono assegnate delle funzioni e chiediamo di verificare se esse sono continue o meno in determinati punti.

 

Nel secondo gruppo invece ci concentriamo sulla continuità delle funzioni parametriche definite a tratti e, in riferimento ad alcune funzioni dipendenti da un parametro, chiediamo di determinare il valore del parametro che rende la funzione continua nel punto specificato.

 

Entrambi i gruppi di esercizi presentano un esempio guidato e ciascun esercizio è accompagnato dalla relativa soluzione. Nelle schede a seguire approfondiremo il discorso con una carrellata di esercizi sui punti di discontinuità (proposti, con soluzioni) e con una scheda di esercizi svolti su continuità e discontinuità. ;)

 
 
 

Esercizi sulla continuità delle funzioni in un punto


Prima di procedere è bene fare una premessa sulla teoria necessaria per la risoluzione degli esercizi sulla continuità. Nella lezione sulla nozione di funzione continua (e successive) abbiamo introdotto la definizione di funzione continua da un punto di vista teorico. Poi ci siamo concentrati su una carrellata di tecniche di calcolo dei limiti finché, ad un certo punto, abbiamo ripreso il discorso spiegando come stabilire se una funzione è continua in termini pratici.

 

Dovrebbe essere chiaro perché gli esercizi sulla continuità sono collocati verso la fine della categoria di esercizi sui limiti: per studiare la continuità di una funzione è necessario conoscere tutte le varie tecniche di calcolo dei limiti. ;)

 


0) Stabilire se la funzione y=e^{x}+2x^{3}-1 è continua nel punto x_0=2.

 

Svolgimento: dobbiamo vedere, in accordo con la definizione, se i due limiti sinistro e destro per x\to 2 esistono finiti, se coincidono tra loro e in tal caso se il loro valore comune coincide con la valutazione della funzione f(x) nel punto x_0=2.

 

Niente di difficile, vero? L'importante è saper calcolare i limiti da sinistra e da destra per benino ;)

 

Il limite sinistro vale

 

\lim_{x\to 2^{-}}{e^{x}+2x^{3}-1}=e^{2}+16-1=e^{2}+15

 

quello destro, invece

 

\lim_{x\to 2^{+}}{e^{x}+2x^{3}-1}=e^{2}+16-1=e^{2}+15

 

e la valutazione della funzione nel punto x_0=2 vale

 

f(2)=e^2+15

 

Si conclude che la funzione considerata è continua nel punto x_0=2.

 

 

0+0) Vediamo un ulteriore esercizio guidato, in questo caso vogliamo studiare la continuità della seguente funzione definita a tratti nel punto x_0=0

 

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x} \ \mbox{se} \ x >0 \\ 0 \ \mbox{se} \ x \leq 0 \end{cases}

 

Anche se l'esercizio non lo richiede, osserviamo che i due rami che definiscono la funzione sono certamente continui sui rispettivi intervalli di definizione, in accordo con i risultati relativi alla continuità delle funzioni elementari. L'unico dubbio riguarda il punto di raccordo x_0=0.

 

Per com'è definita la nostra funzione risulta che la sua valutazione nel punto x_0=0 vale zero

 

f(x_0)=f(0)=0

 

Calcoliamo ora il limite destro servendoci delle regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi:

 

\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{1}{x}}=+\infty

 

Già questo è sufficiente per dire che la funzione considerata non è continua nel punto x_0=0, perché non è soddisfatta una delle condizioni che definiscono la continuità: non è vero che i due limiti sinistro e destro esistono entrambi finiti.

 

 

Esercizi proposti sulla continuità delle funzioni in un dato punto

 

Studiare la continuità delle seguenti funzioni nei punti indicati.

 

I) y=\sqrt{x(x-2)} nei punti x_0=0, \ x_0=2

 

II) y=|2x-7| nel punto x_0=\frac{7}{2}

 

III) y=\begin{cases}1 \ \mbox{se} \ x \ge 2 \\ -1 \ \mbox{se} \ x<2 \end{cases} nel punto x_0=2

 

IV) y=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}} \ \mbox{se} \ x\neq 0 \\ 0 \ \mbox{se} \ x=0 \end{cases} nel punto x_0=0

 

V) y=\begin{cases}x^2+1 \ \mbox{se} \ x \le 1 \\ |x|+2 \ \mbox{se} \ x > 1\end{cases} nel punto x_0=1

 

Esercizi sulla continuità delle funzioni con parametro

 

0) Studiare la continuità della seguente funzione definita per casi e determinare gli eventuali valori del parametro reale a tali da renderla continua.

 

y=\begin{cases}x^2+3x+a\mbox{ se }x<0\\ \frac{5}{x+2}\mbox{ se }x\geq 0\end{cases}

 

Svolgimento: i due rami di definizione sono dati da funzioni certamente continue sui rispettivi intervalli. Si noti in particolare che il parametro reale a non influisce in alcun modo sulla continuità del ramo sinistro su (-\infty,0), poiché si tratta di una funzione polinomiale.

 

L'unico punto in cui dobbiamo imporre che la funzione sia continua è il punto di raccordo x_0=0. In accordo con la definizione, calcoliamo limite sinistro e limite destro facendo però attenzione: a sinistra di zero la funzione è definita in un modo, a destra in un altro.

 

Limite sinistro:

 

\lim_{x\to 0^{-}}{f(x)}=\lim_{x\to 0^{-}}{x^{2}+3x+a}=a

 

Limite destro:

 

\lim_{x\to 0^{+}}{f(x)}=\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{5}{x+2}}=\frac{5}{2}

 

Per la definizione di continuità in un punto, i due limiti sinistro e destro devono esistere finiti, e questo è vero per qualsiasi valore del parametro a. Devono inoltre essere uguali, e il loro comune valore deve coincidere con la valutazione della funzione nel punto considerato.

 

Per determinare la valutazione della funzione in x_0=0 prestiamo attenzione e scegliamo il corretto ramo di competenza (quello che include l'uguaglianza, per intenderci)

 

f(0)=\frac{5}{0+2}=\frac{5}{2}

 

Ora imponiamo

 

\lim_{x\to 0^{-}}{f(x)}=f(0)=\lim_{x\to 0^{+}}{f(x)}

 

ossia a=\frac{5}{2}. Abbiamo così il valore del parametro a che rende continua la funzione in x_0=0:\ \ a=\frac{5}{2}.

 

 

Esercizi sulla continuità delle funzioni dipendenti da un parametro

 

Studiare la continuità delle seguenti funzioni definite a tratti nei punti di raccordo, al variare del parametro reale a.

 

I) y=\begin{cases}\sqrt{x+2}\mbox{ se }-2\leq x\leq 0\\ x^2+2ax+a\mbox{ se }x> 0\end{cases}

 

[Suggerimento: x_0=0]

 

II) y=\begin{cases}a(x+1)\mbox{ se }x\leq0\\ \frac{e^{2x}-1}{\sin{(4x)}\cos{(x)}}\mbox{ se }x>0\end{cases}

 

[Suggerimento: x_0=0]

 

III) y=\begin{cases}\frac{1}{2}x^3+2x-ax^{2}+\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x\leq 0\\ \arctan{\left(\frac{2}{x}\right)}\mbox{ se }x>0\end{cases}

 

[Suggerimento: x_0=0]

 

IV) y=\begin{cases}a(x^2-2)\mbox{ se }x\neq \pm 1\\ 3\mbox{ se }x=\pm 1\end{cases}

 

[Suggerimento: x_0=-1 \ \mbox{e} \ x_0=1]

 

V) y=\begin{cases}2\ln{\left(1+\sin{(x)}-x\right)}\mbox{ se }x\leq 0\\ y=a\frac{3x+3x^2}{\sin{(x)}}\mbox{ se }x> 0\end{cases}

 

[Suggerimento: x_0=0]

 

 

Soluzioni primo gruppo

 

I) Continua nei due punti x_0=0 \ \mbox{e} \ x_0=2.

 

II) Continua in x_0=\frac{7}{2}.

 

III) Non continua in x_0=2.

 

IV) Continua in x_0=0.

 

V) Non continua in x_0=1.

 

Soluzioni secondo gruppo

  

I) Continua in x_0=0 \ \mbox{per} \ a=\sqrt{2}.

 

II) Continua in x_0=0 \ \mbox{per} \ a=\frac{1}{2}.

 

III) Continua in x_0=0 indipendentemente da a.

 

IV) Sia in x_0=-1 che in x_0=1 continua per a=-3.

 

V) Continua in x_0=0 \ \mbox{per} \ a=0.

 

 


 

Se siete in cerca di risposte, altri esercizi o spiegazioni non esitate e fate buon uso della barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata


Tags: esercizi sulle funzioni continue e sulla continuità in un punto o su un intervallo, definite a tratti e non, con soluzioni e spiegazioni su come risolverli.

 

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