Esercizi sui limiti con la definizione (limite infinito per x tendente a un valore finito)

Se avete letto la lezione sulla definizione di limite infinito per x tendente ad un valore finito dovreste essere in grado di svolgere i seguenti esercizi sulla verifica di limiti con la definizione relativi al caso infinito per x tendente a un valore finito.

 

Il primo esercizio è svolto e potete usarlo per dedurre il metodo di svolgimento; in fondo alla pagina potete consultare le soluzioni degli esercizi proposti.

 

Nella categoria di schede di esercizi sui limiti potete accedere, tra le altre cose, agli esercizi proposti sulle altre tre tipologie di limite. Oltre a questi ci sono anche due schede di esercizi svolti sulla verifica dei limiti con la definizione con tutti i passaggi.

 
 
 

Esercizi sulla verifica dei limiti con la definizione (limite infinito per x tendente a un valore finito)

 

Nota: in alcuni casi è richiesta la verifica di un limite da sinistra o da destra (rispettivamente per x\to x_0^-,\ x\to x_0^+), in altri entrambe le cose (x\to x_0). In altri casi ancora dovrete effettuare fare due verifiche separate, partendo da due disuguaglianze distinte: tale eventualità è tipica dei limiti che non esistono per i quali i due limiti sinistro e destro esistono ma non coincidono.

 

0) Verificare che

 

\lim_{x\to 0}{\left(\frac{1}{x^4}\right)}=+\infty

 

Svoglimento: dato che non è specificato se il limite è da sinistra o da destra, vale in entrambi i casi. Dobbiamo al solito imporre la disuguaglianza finale f(x)>M con M>0 un arbitrario valore di controllo sulle ordinate, e ricavare una distanza di controllo sulle ascisse, detta \delta e dipendente da M.

 

Ci aspettiamo dunque come risultato una doppia disequazione della forma

 

x_0-\mbox{qualcosa dipendente da} \ M<x<x_0+\mbox{qualcosa dipendente da} \ M

 

dove x_0=0 è il valore cui tende la x.

 

Per cominciare imponiamo

 

f(x)>M\ \ \ \to\ \ \ \frac{1}{x^4}>M

 

e teniamo presente che deve essere x\neq 0, perché tale punto non appartiene al dominio della funzione.

 

Qui non serve partire da due disuguaglianze distinte perchè sia a sinistra che a destra il limite vale più infinito. Dalla disequazione che abbiamo imposto possiamo passare ai reciproci, perché tutti i termini coinvolti sono positivi (si tenga presente che x\neq 0).

 

x^{4}<\frac{1}{M}\ \ \ \wedge\ \ \ x\neq 0

 

Con il solito metodo di risoluzione delle disequazioni di grado superiore al secondo per sostituzione, passiamo al grado 2 ottenendo

 

-\sqrt{\frac{1}{M}}<x^{2}<+\sqrt{\frac{1}{M}}\ \ \ \wedge\ \ \ x\neq 0

 

La prima delle due disuguaglianze è inutile: ci chiede quando un numero negativo è minore di un numero positivo (ricordiamoci sempre che deve essere x\neq 0). Ci basta ragionare sulla seconda disuguaglianza, che possiamo scrivere nella forma

 

0<x^2<+\sqrt{\frac{1}{M}}

 

e che diventa

 

-\sqrt[4]{\frac{1}{M}}<x<+\sqrt[4]{\frac{1}{M}}\ \ \ \wedge\ \ \ x\neq 0

 

Da qui risulta

 

-\sqrt[4]{\frac{1}{M}}<x<+\sqrt[4]{\frac{1}{M}}\ \ \ \wedge\ \ \ x\neq 0

 

quindi il valore \delta cercato è \delta=\sqrt[4]{\frac{1}{M}}. Possiamo esprimere la doppia disuguaglianza in forma compatta servendoci del valore assoluto

 

0<|x|<\sqrt[4]{\frac{1}{M}}

 

dove l'estremo sinistro ci ricorda che la definizione vale in un intorno bucato di x_0=0.

 

 

Esercizi proposti sulla verifica dei limiti nel caso infinito per x tendente a un valore finito

 

Nota bene: in presenza di un denominatore bisogna sempre porsi la domanda: "è positivo o è negativo?". Per capirlo bisogna tenere in considerazione con quali x stiamo lavorando. Tendenzialmente, e salvo casi particolari (come l'esercizio I), a sinistra avremo un segno ben definito e a destra un altro.

 

Ricordatevi inoltre di specificare sempre che le x appartengono ad un intorno bucato di x_0, in modo che i risultati siano consistenti.

 

I) Verificare che \lim_{x\to 3^+}{\left(\frac{1}{x^2-9}\right)}=+\infty

 

[Suggerimento: partire dalla disequazione f(x)>M, supponendo che sia M>0 e tenendo a mente che dovrà essere x>3]

 

II) Verificare che \lim_{x\to 1^{+}}{\left(\frac{x-3}{x-1}\right)}=-\infty

 

[il risultato è una disuguaglianza singola]

 

III) Verificare che \lim_{x\to 0^{+}}{[\ln{(x^3)}]}=-\infty

 

[il risultato è una disuguaglianza singola]

 

IV) Verificare che \lim_{x\to 2^{-}}{\left(\frac{1}{\sqrt{2-x}}\right)}=+\infty

 

[il risultato è una disuguaglianza singola]

 

V) Verificare che \lim_{x\to 0^{\pm}}{\left(\frac{1}{2e^{x}-2}\right)}=\pm\infty

 

[per la verifica bisogna partire da due disuguaglianze separate: f(x)>M,\ f(x)<-M]

 

VI) Verificare che \lim_{x\to e^{-}}{\left(\frac{-3}{\ln{(x)}-1}\right)}=+\infty

 

VII) Verificare che \lim_{x\to 0^{+}}{\left[\log_{\frac{1}{2}}{(e^{x}-1)}\right]}=+\infty

 

 

 

Soluzioni

 

I) 3<x<\sqrt{\frac{1}{M}+9}

 

II) 1<x<1+\frac{2}{M+1}

 

III) 0<x<\sqrt[3]{\frac{1}{e^{M}}}

 

IV) 2-\frac{1}{M^{2}}<x<2

 

V) \mbox{A sinistra}: \ \ln{\left(1-\frac{1}{2M}\right)}<x<0; \ \mbox{a destra}: \ 0<x<\ln{\left(1+\frac{1}{2M}\right)}

 

VI) e^{1-\frac{3}{M}}<x<e

 

VII) 0<x<\ln{\left[\left(\frac{1}{2}\right)^M+1\right]}

 

 


 

Attenzione: prima di passare alla scheda di esercizi svolti sulla verifica dei limiti vi raccomandiamo di consultare le altre tre schede di esercizi proposti sulla verifica delle varie tipologie di limite. Per qualsiasi necessità vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata


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