Esercizi sui limiti con la definizione (limite infinito all'infinito)

Se avete letto la lezione sul concetto di limite infinito per x tendente all'infinito dovreste essere in grado di verificare, mediante la definizione, che valgono i limiti che seguono.

 

Il primo esercizio è svolto. In generale vi raccomandiamo di ricordarvi che i segni e i simboli di disequazione dipendono dai segni degli infiniti che compaiono nei limiti. Le soluzioni sono riportate a fine scheda.

 

Prima di cominciare sappiate che nella categoria di esercizi sui limiti avete a disposizione schede di esercizi proposti sulla verifica di ogni tipo di definizione sui limiti, oltre a due schede di esercizi interamente svolti... e tante altre cose. ;)

 
 
 

Esercizi sulla verifica dei limiti con la definizione (limite infinito per x tendente a un valore infinito)

 

0) Verificare che

 

\lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{3-x}{2}\right)}=-\infty

 

Svolgimento: consideriamo un valore di controllo arbitrario per le ordinate, N>0. Vogliamo provare che esiste un corrispondente valore di controllo per le ascisse M, dipendente da N, che verifica la definizione.

 

Osserviamo che il limite vale -\infty, quindi imponiamo la disuguaglianza per il controllo delle ordinate

 

f(x)<-N

 

vale a dire

 

\frac{3-x}{2}<-N

 

che è una semplice disequazione di primo grado. Se tutto va bene ci aspettiamo, facendo alcuni calcoli, di arrivare ad una disuguaglianza del tipo

 

x>\mbox{qualcosa dipendente da }N

 

Procediamo:

 

3-x<-2N

 

da cui

 

x>3+2N

 

e abbiamo così trovato il valore M dipendente da N, che nel nostro caso è dato da M=3+2N.

 

La definizione di limite infinito all'infinito è verificata, infatti nel limite la x tende a più infinito e la disuguaglianza per le ascisse deve essere x>M. Inoltre la M che ci risulta è positiva perchè N è per ipotesi un numero positivo.

 

 

Esercizi proposti sulla verifica dei limiti nel caso infinito per x tendente all'infinito

 

I) Verificare che \lim_{x\to -\infty}{\left(\frac{x^2+7}{2}\right)}=+\infty

 

[Suggerimento: scegliere dalla doppia disuguaglianza la disuguaglianza necessaria per la verifica]

 

II) Verificare che \lim_{x\to -\infty}{(\sqrt{1-x})}=+\infty

 

III) Verificare che \lim_{x\to +\infty}{\left[\ln{(\sqrt{x})}\right]}=+\infty

 

IV) Verificare che \lim_{x\to +\infty}{\left[\log_{\frac{1}{3}}{\left(x+2\right)}\right]}=-\infty

 

[Suggerimento: in presenza di una disequazione logaritmica con base compresa tra 0 ed 1, vi ricordate cosa si deve fare sul segno di disuguaglianza quando si elimina il logaritmo?]

 

V) Verificare che \lim_{x\to -\infty}{-\left(x^2+2\right)^3}=-\infty

 

VI) Verificare che \lim_{x\to +\infty}{\left(-2^{x^3-2}\right)}=-\infty

 

 

Soluzioni

 

I) x<-M=-\sqrt{2N-7}

 

II) x<-M=1-N^2

 

III) x>M=e^{2N}

 

IV) x>M=3^{N}-2

 

V) x<-M=-\sqrt{\sqrt[3]{N}-2}

 

VI) x>M=\sqrt[3]{\log_{2}(N)+2}

 

 


 

Avete già affrontato gli esercizi proposti sulla verifica delle altre tre tipologie di limiti? Se sì, vi suggeriamo di consultare le due schede di esercizi svolti sulla verifica dei limiti con la definizione. In caso di necessità non esitate e fate buon uso della barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e commentati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata


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