Esercizi svolti infiniti e infinitesimi

State leggendo la prima di diverse schede di esercizi su infiniti e infinitesimi, vale a dire sul calcolo dei limiti in cui intervengono gli infiniti e gli infinitesimi. Gli esercizi elencati qui di seguito sono risolti e sono corredati dai relativi svolgimenti.

 

Per chi sa già di cosa stiamo parlando, riportiamo sin da subito l'elenco di schede di esercizi correlate con cui potete proseguire l'allenamento:

 

- esercizi su limiti con infiniti e infinitesimi - scheda 2, svolti

 

- esercizi sui limiti con infiniti e infinitesimi - scheda 3, svolti

 

- esercizi risolti sui limiti con infiniti e infinitesimi - scheda 4, svolti

 

Se invece non avete la più pallida idea di cosa stiamo trattando, niente paura: continuate a leggere e vi sarà tutto immediatamente chiaro. ;)

 

Esercizi svolti su infiniti e infinitesimi - scheda 1

 

Prima di passare agli esercizi su infiniti e infinitesimi vediamo di riepilogare la situazione. Nelle lezioni di teoria sui limiti abbiamo introdotto la prima tecnica pratica di calcolo dei limiti, la quale richiede l'ipotesi di continuità delle funzioni coinvolte.

 

Dopo aver scoperto che alcuni limiti possono essere calcolati con estrema facilità per sostituzione diretta - quelli in cui è possibile sostituire il valore cui tende la x nel limite - adesso ampliamo i nostri orizzonti e passiamo al livello successivo.

 

I limiti che seguono richiedono di conoscere i limiti fondamentali e si calcolano con l'algebra di infiniti e infinitesimi. Il metodo spiegato nelle relative lezioni ci permette di estendere il nostro arsenale e di calcolare limiti che coinvolgono operazioni che non saremmo in grado di svolgere, algebricamente, nell'insieme dei numeri reali. Inoltre nella lezione sul calcolo dei limiti da sinistra e da destra abbiamo fatto un ulteriore passo in avanti e abbiamo imparato a gestire gli infiniti e gli infinitesimi quando i limiti vanno calcolati solo da destra, solo da sinistra o separatamente da destra e da sinistra.

 

Bene, la buona notizia è che questo ulteriore metodo di calcolo ci consente di calcolare moltissimi nuovi limiti che in precedenza non avremmo saputo gestire. :)

 

La cattiva notizia è che non siamo vicini a saper calcolare un qualsiasi limite, ma con una catalogazione ordinata e con un minimo sforzo ci metteremo nella condizione di riuscirci. Abbiamo già accennato al fatto che l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi non copre tutti i possibili casi. Essa rende possibili calcoli che prima non eravamo in grado di svolgere, e il suo funzionamento è in tutto e per tutto simile all'algebra dei limiti standard. I casi peggiori, quelli in cui anche l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi non basta, vanno sotto il nome di forme indeterminate e ce ne occuperemo nel seguito.

 

 

Esempio di esercizio con infiniti e infinitesimi

 

0) \lim_{x\to +\infty}\left(\ln{(x)}\right)^x

 

Svolgimento: conoscendo il limite fondamentale per la funzione logaritmica con base maggiore di 1 all'infinito, sappiamo che per valori sempre più grandi di x abbiamo valori sempre più grandi del logaritmo:

 

\ln{(x)}\to +\infty\ \ \ \mbox{ per }x\to+\infty

 

A cosa dobbiamo elevare questo infinito positivo? L'esponente è x, e poiché nel limite considerato x\to+\infty dovremo elevarlo a +infinito. L'esponente è di segno positivo, e l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi ci dice che

 

(+\infty)^{(+\infty)}=(+\infty)

 

Il limite vale quindi

 

\lim_{x\to +\infty}{\left(\ln{(x)}\right)^{x}}=+\infty

 

Risolvi i seguenti esercizi sui limiti con infiniti e infinitesimi

 

Segue un elenco di limiti: alcuni di essi possono essere calcolati con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi, altri invece conducono ad operazioni che non compaiono nella tabella di infiniti e infinitesimi: per quest'ultimi la soluzione temporanea è semplicemente: "il limite non può essere calcolato con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi. ;)

 

I) \lim_{x\to 0}\frac{\ln(x^2)}{x+3}

 

Suggerimento: calcolare i due limiti da sinistra e da destra separatamente. Se essi esistono finiti o infiniti e presentano il medesimo valore, allora tale valore sarà il valore del limite bilatero.

 

II) \lim_{x\to (-3)^{+}}{\frac{3x-1}{x+3}}

 

Suggerimento: (-3)+ vuol dire a destra di -3.

 

III) \lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{3}+2x-5}{x^4-1}}

 

IV) \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}}\frac{\cos(x)}{\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}}}

 

Attenzione, + vuol dire a destra di ...

 

V) \lim_{x\to (-1)^{+}}{\frac{\ln \left(\frac{1}{1+x}\right)}{x^4+3}}

 

Attenzione: (-1)+ vuol dire a destra di -1.

 

VI) \lim_{x\to 0^{+}}{\frac{5x^{3}-2x^{2}+e^{\frac{1}{x}}}{3x^{2}+7x^{6}}}

 

Suggerimento: 0+ vuol dire a destra di 0.

 

VII) \lim_{x\to 0^+}{x\log_{2}{\left(\frac{1}{x}\right)}}

 

VIII) \lim_{x\to -\infty}{\left(e^{x}+x\right)^{3}}

 

IX) \lim_{x\to -\infty}{\left(e^{x}-x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}}

 

X) \lim_{x\to 0}{\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{x}-1}{e^{2x^5}}}

 

 

Soluzioni e svolgimenti

 

Nota bene: le seguenti uguaglianze vanno lette come pseudouguaglianze e servono a mostrare i ragionamenti effettuati per giungere di volta in volta al risultato. All'atto pratico, in un compito o in un esame scritto, non potremo scriverle in uno svolgimento perché esse non sono uguaglianze rigorose; nulla ci vieterà di riportarle in un foglio di brutta copia per aiutarci ad effettuare i calcoli.

 

In alternativa, se volessimo giustificare formalmente ogni singolo passaggio dovremo inevitabilmente ricorrere all'operazione di passaggio al limite. Ad esempio, non potremmo scrivere ufficialmente \ln(+\infty)=+\infty, ma dovremmo scrivere \ln(x)\to+\infty\mbox{ per }x\to +\infty.

 

 

I) Sia a sinistra che a destra risulta

 

\frac{\ln(0^+)}{3}=\frac{-\infty}{3}=-\infty

 

Si noti che, poiché a numeratore abbiamo un infinito, non è necessario la specifica - o + sul risultato del denominatore: ci basta sapere che è una quantità positiva.

 

II) \frac{3\cdot (-3)^+-1}{(-3)^++3}=\frac{-9-1}{0^+}=\frac{-10}{0^{+}}=-\infty

 

In questo caso è richiesta un'analisi approfondita solo a denominatore; riguardo al numeratore ci basta sapere che si viene a generare una quantità negativa.

 

III) \frac{(+\infty)^3+2\cdot (+\infty)-5}{(+\infty)^4-1}=\frac{+\infty+\infty-5}{+\infty-1}=\frac{+\infty}{+\infty}

 

Per il momento non sappiamo come calcolare il limite.

 

IV) A destra di \frac{\pi}{2} la funzione coseno vale poco meno di zero, cioè 0^{-}. Dunque:

 

\frac{\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^+\right)}{\frac{1}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^+-\frac{\pi}{2}}}=\frac{0^-}{\frac{1}{0^+}}=\frac{0^-}{+\infty}=0^-

 

V) \frac{\ln\left(\frac{1}{1+(-1)^+}\right)}{((-1)^+)^4+3}=

 

Nelle somme/differenze, per non sbagliare, vi consigliamo di ragionare per posizioni più che per quantità: (-1)+ significa a destra di -1, per cui effettuando una traslazione di 1 verso destra otteniamo 0+. Per la potenza è invece opportuni ragionare per quantità: (-1)+ in modulo è una quantità più piccola di 1, per cui elevandola alla quarta otteniamo una quantitù poco più piccola di 1.

 

=\frac{\ln\left(\frac{1}{0^+}\right)}{1^-+3}=

 

Si capisce subito che l'analisi + o - non è rilevante a denominatore, mentre è fondamentale per il denominatore

 

=\frac{\ln(+\infty)}{4}=\frac{+\infty}{4}=+\infty

 

VI) \frac{5\cdot (0^+)^3-2\cdot (0^+)^2+e^{\frac{1}{0^+}}}{3\cdot (0^+)^2+7\cdot (0^+)^6}=

 

Per le potenze ragioniamo in termini quantitativi

 

=\frac{5\cdot (0^+)-2\cdot (0^+)+e^{\frac{1}{0^+}}}{3\cdot (0^+)+7\cdot (0^+)}=

 

Per i prodotti ragioniamo in modo analogo

 

=\frac{0^+-0^++e^{\frac{1}{0^+}}}{0^++0^+}=\frac{e^{+\infty}}{0^+}=\frac{+\infty}{0^{+}}=+\infty

 

Si noti che a numeratore la differenza dei due infinitesimi è irrilevante perché viene sommata ad un infinito, e che e^{+\infty}=+\infty per il limite fondamentale della funzione esponenziale a +infinito.

 

VII) 0^+\cdot \log_2\left(\frac{1}{0^+}\right)=0^+\cdot\log_2(+\infty)=0^+\cdot +\infty

 

Non possiamo rispondere: abbiamo 0^{+}\cdot(\infty) che a priori non fa zero e non fa infinito.

 

VIII) (e^{-\infty}-\infty)^3=(0^+-\infty)^3=(-\infty)^3=-\infty

 

IX) (e^{-\infty}+\infty)^{\frac{1}{+\infty}}=(0^++\infty)^{0^+}=(+\infty)^{0^+}

 

Non possiamo rispondere.

 

X) \frac{(\sqrt{3})^0-1}{e^0}=\frac{1-1}{1}=\frac{0}{1}=0

 

 


 

In caso di necessità non dimenticate che potete reperire tutto quello che vi serve mediante la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata

 
 

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