Esercizi sui limiti per sostituzione diretta (algebra dei limiti)

Gli esercizi sui limiti con l'algebra dei limiti sono il punto di partenza per il calcolo dei limiti nella pratica, e richiedono la semplice applicazione delle regole dell'algebra dei limiti introdotte nell'omonima lezione.

 

Se avete letto le prime lezioni sui limiti saprete sicuramente che c'è un po' di lavoro teorico da fare prima di passare alla pratica. Dopo aver studiato un discreto numero di definizioni, e dopo averne digerito il significato analitico e geometrico, si passa allo studio della nozione di funzione continua e ad una serie di teoremi che permettono di capire se una data funzione è continua in un punto, senza alcun calcolo.

 

 

Nell'ipotesi di continuità il calcolo dei limiti è estremamente semplice, tant'è che in tale eventualità è sufficiente applicare una serie di semplici regole:

 

1) le regole algebriche di calcolo dei limiti per scomporre il limite in diversi limiti di funzioni elementari, semplici da calcolare;

 

2) le regole sulla continuità delle funzioni elementari, le quali ci spiegano come e quando è possibile calcolare i limiti di funzioni elementari per sostituzione diretta.

 

Questa scheda di esercizi ha come protagonisti proprio gli esercizi sui limiti per sostituzione diretta, o se preferite per valutazione diretta, in cui bisogna prima verificare teoricamente che sussista l'ipotesi di continuità (a occhio e senza calcoli) e in caso affermativo sostituire il valore cui tende la x direttamente nell'espressione della funzione.

 

E se l'ipotesi di continuità venisse a mancare? Se ci trovassimo di fronte a calcoli che non sappiamo effettuare? In tal caso non potremmo ragionare con la sostituzione diretta e dovremmo seguire altre strade, la prima delle quali è fornita dall'algebra di infiniti e infinitesimi.

 

Una cosa alla volta, ci sono tante altre lezioni e schede di esercizi da affrontare... ;)

 

Esercizi sul calcolo dei limiti per sostituzione diretta

 

Qui di seguito vi proponiamo una trafila di limiti. Alcuni di essi possono essere calcolati mediante la sostituzione diretta del valore cui tende la x, altri no. Sta a voi capire se sussiste l'ipotesi di continuità mediante i teoremi sulle funzioni continue, e se è questo il caso vi chiediamo di applicare le regole 1) e 2) in modo da effettuare la sostituzione diretta.

 

Se siete alle prime armi, dopo aver verificato l'ipotesi di continuità vi suggeriamo di spezzare i limiti in limiti di funzioni elementari mediante le regole dell'algebra dei limiti, per poi applicare le regole sui limiti di funzioni elementari. Dopo aver capito il ragionamento di base potrete fare il tutto in un colpo solo sostituendo direttamente il valore cui tende la x nell'espressione del limite.

 

Attenzione: qualora non dovesse sussistere l'ipotesi di continuità, per il momento la soluzione è: "non risolvibile con la sostituzione diretta". ;)

 

I) \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt{x+7}}{3x}

 

II) \lim_{x\to 1}\frac{2x^3-x+5}{1-x-x^3}

 

III) \lim_{x\to -3}\frac{3-e^{x}}{x+3}

 

IV) \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{e^{x}}{2\sin(x)}

 

V) \lim_{x\to 0}\frac{5}{x+2e^{x}}

 

VI) \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2+3x}{x^5-13}

 

VII) \lim_{x\to 5}\frac{x+3-x^{2}}{x^{2}-25}

 

VIII) \lim_{x\to 0}\ln{(\cos{(x)})}

 

IX) \lim_{x\to 0^{+}}\ln\left(\frac{x}{1+\sqrt{x}}\right)

 

X) \lim_{x\to 0}\left[2x+\ln(x)\right]^2

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio: limite fratto con radice per valutazione diretta

 

II) Limite di un rapporto di polinomi per valutazione diretta

 

III) Limite fratto con denominatore che si annulla

 

IV) Limite fratto con esponenziale, seno e algebra dei limiti

 

V) Limite fratto per valutazione diretta

 

VI) Limite fratto di un rapporto di polinomi per x che tende a +infinito

 

VII) Limite di un rapporto di polinomi con denominatore nullo

 

VIII) Esercizio sul limite di una funzione composta

 

IX) Questo limite si può calcolare per sostituzione diretta?

 

X) Si può calcolare questo limite per valutazione diretta?

 

 


 

In caso di necessità ricordate che qui su YM ci sono tantissime risorse, spiegazioni ed esercizi svolti: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata

 
 

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