Esercizi su definitezza e segnatura di una matrice

La raccolta che state consultando contempla due importanti argomenti, strettamente correlati tra loro. Da un lato potete cimentarvi con gli esercizi sulla definitezza delle matrici; dall'altro, con gli esercizi sulla segnatura delle matrici. In entrambi i casi tutti gli esercizi sono risolti e spiegati nel dettaglio.

 

Gli esercizi sulla definitezza riguardano sostanzialmente le matrici definite positive, definite negative, semidefinite positive, semidefinite negative e quelle indefinite. Nel contempo gli esercizi sulla segnatura hanno a che fare con i segni degli autovalori.

 

D'altro canto, chi ha già letto le nostre lezioni saprà sicuramente che la definitezza di una matrice e la segnatura di una matrice sono legate da un importante risultato teorico... ;)

 

Esercizi risolti su matrici definite e semidefinite positive, negative, indefinite e segnatura

 

I) Calcolare la segnatura della matrice

 

A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}

 

e stabilire se è definita positiva, negativa, semidefinita o indefinita.

 

II) Studiare la definitezza della seguente matrice di ordine cinque:

 

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 3\end{pmatrix}

 

III) Stabilire, senza calcolare il polinomio caratteristico, qual è il segno degli autovalori della matrice

 

A=\begin{pmatrix}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -6 \\ -2 & -6 & 10\end{pmatrix}

 

Successivamente, ricavare la segnatura di A e stabilire se la matrice è definita positiva.

 

IV) Verificare che la matrice

 

A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

 

è semidefinita positiva e scriverne la segnatura.

 

V) Stabilire quale tra le seguenti matrici ha come segnatura la terna (2,1,0).

 

\\ A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 5\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 5\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ D=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&3\end{pmatrix}

 

VI) Sia A=(a_{ij}) \in \mathbb{R}^{4,4} la matrice simmetrica i cui elementi sono:

 

a_{ij}=i+j-3 \ \ \mbox{ con } i,j \in \{1,2,3,4\}

 

Calcolare la segnatura di A e stabilire se è definita positiva, negativa, semidefinita o indefinita.

 

VII) Si considerino le seguenti matrici simmetriche di ordine quattro

 

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & -2 & 1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}

 

Dimostrare che A,B sono matrici congruenti.

 

VIII) Siano A una matrice simmetrica di ordine cinque e m_A(\lambda) il suo polinomio minimo. Sapendo che

 

m_A(\lambda)=\lambda^4 - 7\lambda^2 + 6\lambda

 

quale potrebbe essere la segnatura di A?

 

a) \ (1,3,1) \\ \\ b) \ (1,1,3) \\ \\ c) \ (3,1,1) \\ \\ d) \ (1,2,2)

 

IX) Calcolare, al variare di t \in \mathbb{R}, la segnatura della matrice

 

A=\begin{pmatrix}1 & t & 0 & 0 \\ t & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

 

X) Studiare, al variare di h \in \mathbb{R}, la definitezza della matrice

 

A=\begin{pmatrix}h & 0 & 1 \\ 0 & h & 0 \\ 1 & 0 & h\end{pmatrix}

 

specificando per quali valori di h è definita positiva, definita negativa, semidefinita (positiva o negativa) e indefinita.

 

 

Svolgimenti e soluzioni 

 

I) Segnatura e definitezza di una matrice di ordine 4 

 

II) Studio della definitezza di una matrice con polinomio caratteristico non scomponibile

 

III) Segno degli autovalori di una matrice senza il polinomio caratteristico

 

IV) Verificare che una matrice è semidefinita positiva

 

V) Calcolare una matrice dalla segnatura

 

VI) Determinare gli elementi di una matrice e trovarne la segnatura

 

VII) Dimostrare che due matrici sono congruenti

 

VIII) Studio della segnatura di una matrice dal polinomio minimo

 

IX) Segnatura di una matrice parametrica

 

X) Valori di un parametro e matrice è definita positiva, definita negativa e indefinita

 

 

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