Esercizi sul polinomio minimo

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State leggendo la scheda di esercizi sul polinomio minimo delle matrici. Tutti gli esercizi di questa selezione sono interamente svolti, commentati passo-passo e proposti per livelli di difficoltà crescenti.

 

Gli esercizi risolti sul polinomio minimo ricoprono una vasta gamma di tracce e coinvolgono buona parte delle lezioni precedenti, per cui vi raccomandiamo di procedere non prima di aver acquisito sufficiente dimestichezza con gli argomenti pregressi e con i relativi esercizi.

 

Per ripassare la teoria, i metodi di risoluzione degli esercizi e consultare alcuni esempi svolti, potete leggere la lezione sul polinomio minimo.

 

Esercizi risolti sul polinomio minimo

 

I) Dopo averne trovato il polinomio caratteristico, calcolare il polinomio minimo della matrice

 

A = [2 0 0 0 0 ; 5 2 0 0 0 ; 0 0 4 3 0 ; 0 0 2 5 0 ; 0 0 0 0 4]

 

II) Si consideri la seguente matrice di ordine cinque

 

A = [1 1 0 0 1 ; 0 2 0 0 0 ; 0 1 2 0 0 ; 0 1 0 1 1 ; 0 1 1 0 1]

 

Calcolarne la forma canonica di Jordan e, da essa, risalire al polinomio minimo associato ad A.

 

III) Calcolare il polinomio minimo della matrice

 

A = [2 6 0 ; 0 3 0 ; 1 4 3]

 

come rapporto tra il polinomio caratteristico e il massimo comun divisore dei termini della matrice dei cofattori associata a A-λ Id_3.

 

IV) I polinomi:

 

m_A(λ) = λ^2-6λ+9 ; m_B(λ) = λ^3-3λ^2+2λ ; m_C(λ) = λ^3-λ^2-λ+1 ; m_D(λ) = λ^2+1

 

sono i polinomi minimi associati, rispettivamente, alle matrici A, B, C, D.

 

Stabilire quali, tra esse, sono diagonalizzabili in R.

 

V) Scrivere una matrice A che abbia come polinomio caratteristico

 

p_A(λ) = (λ-1)^3(λ+2)

 

e come polinomio minimo

 

m_A(λ) = (λ-1)(λ+2)

 

A è diagonalizzabile?

 

VI) Scrivere tutte le possibili forme canoniche di Jordan di una matrice A cui polinomio caratteristico è

 

p_A(λ) = (λ-1)^3(λ+3)^2

 

e, in ogni caso, evidenziare il polinomio minimo e la dimensione degli autospazi V(1) e V(-3).

 

VII) Determinare, al variare dei parametro h ∈ R, il polinomio minimo della matrice

 

A = [2 0 0 ; h 1 0 ; 5 h-2 1]

 

VIII) Si considerino le matrici

 

A = [ 3 1 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1] ; B = [ 3 0 0 ; 0 1 2 ; 0 0 3]

 

Dimostrare che A e B non sono simili tra loro ma che hanno lo stesso polinomio minimo.

 

IX) Sia A una matrice n×n idempotente diversa dalla matrice nulla e dalla matrice identità. Scrivere il polinomio minimo di A.

 

X) Sia A una matrice di ordine quattro non diagonalizzabile e che soddisfa le seguenti equazioni:

 

A^5+A^4 = A^3+A^2 ; A^5+3A^4 = -3A^3-A^2

 

Elencare tutte le possibili forme che possono assumere il polinomio minimo, il polinomio caratteristico e la forma canonica di Jordan di A.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolare il polinomio minimo dal polinomio caratteristico 

 

II) Forma canonica di Jordan e polinomio minimo di una matrice

 

III) Calcolo del polinomio minimo dalla matrice dei cofattori

 

IV) Polinomio minimo e diagonalizzabilità

 

V) Scrivere una matrice conoscendone il polinomio minimo e quello caratteristico

 

VI) Forma canonica di Jordan e polinomio minimo dal polinomio caratteristico

 

VII) Polinomio minimo di una matrice parametrica

 

VIII) Dimostrare che due matrici non sono simili e hanno lo stesso polinomio minimo

 

IX) Polinomio minimo di una matrice idempotente

 

X) Polinomio minimo, polinomio caratteristico e forma canonica di Jordan di una matrice non diagonalizzabile

 

 

Lezione correlata

 
 

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