Esercizi sul polinomio minimo

State leggendo la scheda di esercizi sul polinomio minimo delle matrici. Tutti gli esercizi di questa selezione sono interamente svolti, commentati passo-passo e proposti per livelli di difficoltà crescenti.

 

Gli esercizi risolti sul polinomio minimo ricoprono una vasta gamma di tracce e coinvolgono buona parte delle lezioni precedenti, per cui vi raccomandiamo di procedere non prima di aver acquisito sufficiente dimestichezza con gli argomenti pregressi e con i relativi esercizi.

 

Per ripassare la teoria, i metodi di risoluzione degli esercizi e consultare alcuni esempi svolti, potete leggere la lezione sul polinomio minimo.

 

Esercizi risolti sul polinomio minimo

 

I) Dopo averne trovato il polinomio caratteristico, calcolare il polinomio minimo della matrice

 

A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix}

 

II) Si consideri la seguente matrice di ordine cinque

 

A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

 

Calcolarne la forma canonica di Jordan e, da essa, risalire al polinomio minimo associato ad A.

 

III) Calcolare il polinomio minimo della matrice

 

A=\begin{pmatrix}2 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 3\end{pmatrix}

 

come rapporto tra il polinomio caratteristico e il massimo comun divisore dei termini della matrice dei cofattori associata a A-\lambda \mbox{Id}_3.

 

IV) I polinomi:

 

\\ m_A(\lambda)=\lambda^2-6\lambda+9 \\ \\ m_B(\lambda)=\lambda^3-3\lambda^2+2\lambda \\ \\ m_C(\lambda)=\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1 \\ \\ m_D(\lambda)=\lambda^2+1

 

sono i polinomi minimi associati, rispettivamente, alle matrici A, B, C, D.

 

Stabilire quali, tra esse, sono diagonalizzabili in \mathbb{R}.

 

V) Scrivere una matrice A che abbia come polinomio caratteristico

 

p_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda+2)

 

e come polinomio minimo

 

m_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+2)

 

A è diagonalizzabile?

 

VI) Scrivere tutte le possibili forme canoniche di Jordan di una matrice A cui polinomio caratteristico è

 

p_A(\lambda)=(\lambda-1)^3(\lambda+3)^2

 

e, in ogni caso, evidenziare il polinomio minimo e la dimensione degli autospazi V(1) e V(-3).

 

VII) Determinare, al variare dei parametro h \in \mathbb{R}, il polinomio minimo della matrice

 

A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ h & 1 & 0 \\ 5 & h-2 & 1\end{pmatrix}

 

VIII) Si considerino le matrici

 

A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}

 

Dimostrare che A e B non sono simili tra loro ma che hanno lo stesso polinomio minimo.

 

IX) Sia A una matrice n \times n idempotente diversa dalla matrice nulla e dalla matrice identità. Scrivere il polinomio minimo di A.

 

X) Sia A una matrice di ordine quattro non diagonalizzabile e che soddisfa le seguenti equazioni:

 

\\ A^5+A^4=A^3+A^2\\ \\ A^5+3A^4=-3A^3-A^2

 

Elencare tutte le possibili forme che possono assumere il polinomio minimo, il polinomio caratteristico e la forma canonica di Jordan di A.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolare il polinomio minimo dal polinomio caratteristico 

 

II) Forma canonica di Jordan e polinomio minimo di una matrice

 

III) Calcolo del polinomio minimo dalla matrice dei cofattori

 

IV) Polinomio minimo e diagonalizzabilità

 

V) Scrivere una matrice conoscendone il polinomio minimo e quello caratteristico

 

VI) Forma canonica di Jordan e polinomio minimo dal polinomio caratteristico

 

VII) Polinomio minimo di una matrice parametrica

 

VIII) Dimostrare che due matrici non sono simili e hanno lo stesso polinomio minimo

 

IX) Polinomio minimo di una matrice idempotente

 

X) Polinomio minimo, polinomio caratteristico e forma canonica di Jordan di una matrice non diagonalizzabile

 

 

Lezione correlata

 
 

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