Esercizi sulla forma canonica di Jordan

State consultando la scheda di esercizi sulla forma canonica di Jordan delle matrici. Tutti gli esercizi di questa raccolta sono risolti, commentati nel dettaglio ed elencati in ordine crescente di difficoltà.

 

Gli esercizi sulla forma canonica di Jordan e sulle matrici jordanizzanti che vi proponiamo qui di seguito coprono diverse tipologie di tracce, e sono pensati per una preparazione completa in vista degli esami universitari.

 

Per tutta la teoria, diversi esempi svolti e i metodi di risoluzione degli esercizi, vi rimandiamo alle lezioni:

 

forma canonica di Jordan;

 

autovettori generalizzati e matrice jordanizzante

 

Esercizi risolti sulla forma canonica di Jordan

 

I) Si considerino le seguenti matrici a elementi reali

 

\\ A= \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 3 & 0\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\ 0 & 14 & 39 \\ 0 & -5 & -14\end{pmatrix} \\ \\ \\ C=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

 

Stabilire quali, tra esse, non sono jordanizzabili in \mathbb{R}.

 

II) Sia A la seguente matrice quadrata di ordine tre:

 

A=\begin{pmatrix}8 & 6 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 9 & 9 & -4\end{pmatrix}

 

Dopo aver verificato che \lambda_1=2 è un autovalore triplo di A calcolarne la molteplicità geometrica e fornire una rappresentazione di A in forma canonica di Jordan.

 

III) Determinare la rappresentazione in forma canonica di Jordan della matrice

 

A=\begin{pmatrix}-5 & -4 & 0 & 6 & -3 \\ 7 & 6 & 0 & -6 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 5 & 5 & 0 & -4 & 2\end{pmatrix}

 

IV) Data la matrice

 

A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2\end{pmatrix}

 

verificare che è jordanizzabile in \mathbb{C} e scriverne la forma canonica di Jordan associata.

 

V) Scrivere tutte le possibili forme canoniche di Jordan di una matrice A il cui polinomio caratteristico è

 

p(\lambda) = (\lambda - 3)^4

 

evidenziando, in ogni caso, la dimensione dell'autospazio V(3).

 

VI) Dimostrare che le matrici

 

\\ A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ -1 & -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & -1\end{pmatrix} \\ \\ \\ B=\begin{pmatrix}-2 & 0 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & 3 & 3\end{pmatrix}

 

sono simili.

 

VII) Determinare la forma canonica di Jordan e una matrice jordanizzante di

 

A=\begin{pmatrix}2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 2\end{pmatrix}

 

VIII) Si consideri la matrice

 

A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

 

Verificare che A è jordanizzabile in \mathbb{R} e jordanizzarla.

 

IX) Sia data la seguente matrice di ordine sei

 

A=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}

 

1) Dimostrare che A è jordanizzabile in \mathbb{R}.

 

2) Calcolare la forma canonica di Jordan di A.

 

3) Trovare una base di Jordan per A e scrivere una matrice jordanizzante.

 

X) Una matrice A di ordine n=15 ha un unico autovalore \lambda_0. Determinare la forma canonica di Jordan di A sapendo che:

 

\\ \mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_{15})=8 \\ \\ \mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_{15})^2=3 \\ \\ \mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_{15})^3=2

 

dove \mbox{Id}_{15} è la matrice identità di ordine 15.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Quando una matrice non si può scrivere in forma canonica di Jordan 

 

II) Verifica autovalori e forma canonica di Jordan di una matrice

 

III) Rappresentazione di Jordan di una matrice di ordine 5

 

IV) Forma canonica di Jordan di una matrice con autovalori complessi

 

V) Possibili forme canoniche di Jordan dal polinomio caratteristico

 

VI) Dimostrare che due matrici sono simili

 

VII) Differenza tra autospazio e autospazio generalizzato

 

VIII) Jordanizzare una matrice di ordine quattro

 

IX) Base di Jordan di una matrice

 

X) Esercizio teorico sulla forma canonica di Jordan

 

 

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