Esercizi su matrici triangolarizzabili e triangolarizzazione di matrici

Benvenuti nella scheda di esercizi sulla triangolarizzazione di matrici. Tutti gli esercizi di questa raccolta sono ordinati per livelli crescenti di difficoltà, sono svolti con tutti i passaggi e sono corredati da tutti i calcoli e le osservazioni necessarie per arrivare alla soluzione.

Le tracce proposte in questa pagina riguardano lo studio della triangolarizzabilità (o triangolabilità) delle matrici e, ove richiesto, l'applicazione del metodo di triangolarizzazione delle matrici. Premettiamo che per procedere è essenziale ricordare quali sono le condizioni che rendono una matrice diagonalizzabile e, possibilmente, aver risolto gli esercizi sulla diagonalizzazione delle matrici.

Per un ripasso completo di definizioni, teoremi, metodi di risoluzione ed esempi, potete leggere la lezione correlata: matrice triangolarizzabile.

Esercizi risolti su matrici triangolarizzabili e triangolarizzazione di matrici

I) Studiare, sia in $\mathbb{R}$ che in $\mathbb{C}$ , la triangolarizzabilità della matrice

$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$

II) Stabilire quale tra le seguenti matrici è diagonalizzabile e quale, invece, è solo triangolabile:

$A=\begin{pmatrix}3 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ B=\begin{pmatrix}6 & 2 & 2 \\ 3 & 7 & 3 \\ -1 & -1 & 3\end{pmatrix}$

III) Triangolarizzare, se possibile, la matrice

$A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$

IV) Considerata la matrice

$A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 4\end{pmatrix}$

determinare, se possibile, una matrice triangolare superiore simile ad .

V) Sia la seguente matrice quadrata di ordine tre:

$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$

Calcolare, se possibile, una matrice che triangolarizza e una matrice triangolare superiore simile ad .

VI) Si consideri la matrice

$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}$

Verificare che ha come unico autovalore $\lambda_1=2$ con molteplicità algebrica 3, calcolarne la molteplicità geometrica e triangolarizzare .

VII) Sia la seguente matrice quadrata di ordine 4 a elementi reali:

$A=\begin{pmatrix}7 & 2 & 0 & 5 \\ 6 & 3 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$

1) Verificare che non è diagonalizzabile ma è solo triangolarizzabile in $\mathbb{R}$ ;

2) calcolare una matrice triangolare superiore simile ad e la rispettiva matrice triangolarizzante.

VIII) Calcolare i valori del parametro reale per cui la matrice

$A=\begin{pmatrix}2 & k & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ -2 & -k & 0\end{pmatrix}$

è triangolarizzabile in $\mathbb{R}$ , motivando la risposta.

IX) Dati i vettori

$\\ \mathbf{v}_1=(3,0,0,-1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(0,2,0,2) \\ \\ \mathbf{v}_3=(1,1,1,3) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(0,0,0,1)$

a) verificare che $\mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\}$ è una base di $\mathbb{R}^4$ ;

b) scrivere la matrice di cambiamento di base da $\mathcal{B}$ alla base canonica di $\mathbb{R}^4$ ;

c) se possibile, triangolarizzare in $\mathbb{R}$ .

X) Siano $\mathbb{R}_2[x]$ lo spazio dei polinomi a coefficienti reali, nell'indeterminata e di grado minore o uguale a due, e

$\mathcal{B}=\{x, \ 2x+x^2, \ 1+x^2\}$

una sua base. Considerati i seguenti polinomi di $\mathbb{R}_2[x]$ :

$\\ p_1(x)=2+3x+3x^2 \\ \\ p_2(x)=-1-2x-2x^2 \\ \\ p_3(x)=1+2x+2x^2$

scrivere la matrice le cui colonne sono, nell'ordine, i vettori delle coordinate dei polinomi rispetto a $\mathcal{B}$ .

Stabilire se è triangolarizzabile in $\mathbb{R}$ e, in caso affermativo, triangolarizzarla.

Svolgimenti e soluzioni

I) Studiare la triangolarizzabilità di una matrice in campo reale e complesso

II) Diagonalizzazione e triangolarizzazione di matrici

III) Triangolazione di una matrice con autovalori distinti

IV) Matrice triangolare simile a una matrice di ordine 2

V) Matrice che triangolarizza un'altra matrice

VI) Verifica autovalori e triangolazione di una matrice

VII) Diagonalizzabilità e triangolazione di una matrice di ordine 4

VIII) Valori di un parametro per cui una matrice è triangolabile

IX) Triangolarizzare la matrice di cambiamento di base

X) Triangolazione di una matrice di coordinate

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