Esercizi su matrici triangolarizzabili e triangolarizzazione di matrici

Benvenuti nella scheda di esercizi sulla triangolarizzazione di matrici. Tutti gli esercizi di questa raccolta sono ordinati per livelli crescenti di difficoltà, sono svolti con tutti i passaggi e sono corredati da tutti i calcoli e le osservazioni necessarie per arrivare alla soluzione.

 

Le tracce proposte in questa pagina riguardano lo studio della triangolarizzabilità (o triangolabilità) delle matrici e, ove richiesto, l'applicazione del metodo di triangolarizzazione delle matrici. Premettiamo che per procedere è essenziale ricordare quali sono le condizioni che rendono una matrice diagonalizzabile e, possibilmente, aver risolto gli esercizi sulla diagonalizzazione delle matrici.

 

Per un ripasso completo di definizioni, teoremi, metodi di risoluzione ed esempi, potete leggere la lezione correlata: matrice triangolarizzabile.

 

Esercizi risolti su matrici triangolarizzabili e triangolarizzazione di matrici

 

I) Studiare, sia in \mathbb{R} che in \mathbb{C}, la triangolarizzabilità della matrice

 

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}

 

II) Stabilire quale tra le seguenti matrici è diagonalizzabile e quale, invece, è solo triangolabile:

 

A=\begin{pmatrix}3 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ B=\begin{pmatrix}6 & 2 & 2 \\ 3 & 7 & 3 \\ -1 & -1 & 3\end{pmatrix}

 

III) Triangolarizzare, se possibile, la matrice

 

A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}

 

IV) Considerata la matrice

 

A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 4\end{pmatrix}

 

determinare, se possibile, una matrice triangolare superiore T simile ad A.

 

V) Sia A la seguente matrice quadrata di ordine tre:

 

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}

 

Calcolare, se possibile, una matrice P che triangolarizza A e una matrice triangolare superiore T simile ad A.

 

VI) Si consideri la matrice

 

A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}

 

Verificare che A ha come unico autovalore \lambda_1=2 con molteplicità algebrica 3, calcolarne la molteplicità geometrica e triangolarizzare A.

 

VII) Sia A la seguente matrice quadrata di ordine 4 a elementi reali:

 

A=\begin{pmatrix}7 & 2 & 0 & 5 \\ 6 & 3 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}

 

1) Verificare che A non è diagonalizzabile ma è solo triangolarizzabile in \mathbb{R};

 

2) calcolare una matrice triangolare superiore T simile ad A e la rispettiva matrice triangolarizzante.

 

VIII) Calcolare i valori del parametro reale k per cui la matrice

 

A=\begin{pmatrix}2 & k & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ -2 & -k & 0\end{pmatrix}

 

è triangolarizzabile in \mathbb{R}, motivando la risposta.

 

IX) Dati i vettori

 

\\ \mathbf{v}_1=(3,0,0,-1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(0,2,0,2) \\ \\ \mathbf{v}_3=(1,1,1,3) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(0,0,0,1)

 

a) verificare che \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\} è una base di \mathbb{R}^4;

 

b) scrivere la matrice di cambiamento di base A da \mathcal{B} alla base canonica di \mathbb{R}^4;

 

c) se possibile, triangolarizzare A in \mathbb{R}.

 

X) Siano \mathbb{R}_2[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali, nell'indeterminata x e di grado minore o uguale a due, e

 

\mathcal{B}=\{x, \ 2x+x^2, \ 1+x^2\}

 

una sua base. Considerati i seguenti polinomi di \mathbb{R}_2[x]:

 

\\ p_1(x)=2+3x+3x^2 \\ \\ p_2(x)=-1-2x-2x^2 \\ \\ p_3(x)=1+2x+2x^2

 

scrivere la matrice A le cui colonne sono, nell'ordine, i vettori delle coordinate dei polinomi p_1(x), p_2(x), p_3(x) rispetto a \mathcal{B}.

 

Stabilire se A è triangolarizzabile in \mathbb{R} e, in caso affermativo, triangolarizzarla.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Studiare la triangolarizzabilità di una matrice in campo reale e complesso 

 

II) Diagonalizzazione e triangolarizzazione di matrici

 

III) Triangolazione di una matrice con autovalori distinti

 

IV) Matrice triangolare simile a una matrice di ordine 2

 

V) Matrice che triangolarizza un'altra matrice

 

VI) Verifica autovalori e triangolazione di una matrice

 

VII) Diagonalizzabilità e triangolazione di una matrice di ordine 4

 

VIII) Valori di un parametro per cui una matrice è triangolabile

 

IX) Triangolarizzare la matrice di cambiamento di base

 

X) Triangolazione di una matrice di coordinate

 

 

Lezione correlata

 
 

Tags: scheda di esercizi svolti sulla triangolabilità delle matrici - esercizi risolti sulla triangolarizzazione di matrici.