Esercizi su somma diretta, sottospazi supplementare e complementare

State leggendo una scheda di esercizi risolti di tipo misto: da un lato, esercizi sulla somma diretta di sottospazi; dall'altro, esercizi sulla nozione di sottospazio supplementare e di sottospazio complementare. Tutte le tracce sono interamente svolte e corredate da svolgimenti dettagliati.

Con riferimento alla nozione di somma diretta di sottospazi vettoriali, gli esercizi prevedono principalmente di dimostrare che la somma tra due sottospazi è diretta. Riguardo ai concetti di sottospazio complementare e sottospazio supplementare, invece, le richieste sono di vario tipo e mirate a fornire una preparazione in vista dell'esame scritto.

Per la teoria, le definizioni, i metodi di risoluzione degli esercizi e alcuni esempi svolti vi rimandiamo alle lezioni dei rispettivi link.

Esercizi risolti su somma e intersezione di sottospazi vettoriali

I) Siano assegnati in $\mathbb{R}^3$ i sottospazi vettoriali:

$\\ W_1=\{(x,0,0) \ | \ x \in \mathbb{R}\} \\ \\ W_2=\{(0,y,z) \ | \ y,z \in \mathbb{R}\}$

Verificare che sono in somma diretta.

II) Siano e i sottospazi di $\mathbb{R}^3$ così definiti:

$X=<(1,1,2), \ (0,1,1)> \ \ \ ; \ \ \ Y=<(1,0,1)>$ .

Quale delle seguenti affermazioni è corretta? La somma dei due sottospazi è:

1) diretta;

2) non è diretta;

3) ha dimensione 1;

4) ha dimensione 3.

III) Siano dati i seguenti sottospazi di $\mathbb{R}^4$ :

$W_1=\mbox{Span}(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2) \ \ \ ; \ \ \ W_2=\mbox{Span}(\mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4, \mathbf{u}_5)$

dove:

$\\ \mathbf{u}_1=(1,0,0,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{u}_2=(2,1,1,3) \\ \\ \mathbf{u}_3=(-2,3,3,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{u}_4=(1,2,-1,3) \\ \\ \mathbf{u}_5=(1,-1,-2,0)$ .

Calcolare le dimensioni e una base dei sottospazi $W_1, \ W_2, \ W_1+W_2$ e stabilire se la somma è diretta.

IV) Individuare un complemento diretto del seguente sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^4$

$S=\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \ | \ x-y+z=y+z-t=0\}$

V) Sia il sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^3$ generato dai vettori

$\mathbf{u}_1=(1,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{u}_2=(1,-1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{u}_3=(3,-2,1)$ .

Trovare un sottospazio tale che $U \oplus V = \mathbb{R}^3$ .

VI) Sia il sottospazio di $\mathbb{R}^4$ così definito:

$S=\mbox{Span}((0,2,-1,0), \ (1,2,0,1), \ (1,0,0,0))$

Determinare due sottospazi distinti e che siano supplementari a .

VII) Dati i seguenti sottospazi di $\mathbb{R}^3$ :

$\\ U=\mbox{Span}((1,2,1),(1,1,0)) \\ \\ W=\mbox{Span}((1,0,0))$

1. Calcolare la dimensione di , di e di ;

2. Dimostrare che $U+W=\mathbb{R}^3$ e che $U\cap W=\{\mathbf{0}\}$ , così da concludere che $\mathbb{R}^3$ è somma diretta di $U\ \mbox{e}\ W$ .

3. Decomporre il vettore $\mathbf{v}=(1,2,0)$ nella somma di $\mathbf{u}\ \mbox{e} \ \mathbf{w}$ con $\mathbf{u}\in U$ e $\mathbf{w}\in W$

VIII) Sia $H=\mbox{Sol}(S)$ il sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^4$ definito come lo spazio delle soluzioni del seguente sistema lineare omogeneo

$S: \ \begin{cases}x_1+x_3-x_4=0 \\ 3x_1+x_2+3x_3-4x_4=0 \\ -2x_2-2x_4=0\end{cases}$

1) Determinare la dimensione e una base di .

2) Se è un sottospazio supplementare di , qual è la dimensione di ?

IX) Sia il sottospazio di $\mathbb{R}^4$ generato dai vettori

$\\ \mathbf{v}_1=(1,1,0,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,0,-1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(3,2,1,0)$

Determinare un sottospazio non banale che sia complementare di in $\mathbb{R}^4$ .

X) Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di $\mathbb{R}^4$ :

$S=\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x+2y+t=0, \ x-y-z+2t=0\} \\ \\ T=\mbox{Span}((3,k,1,-1), \ (1,0,k,k))$

Stabilire per quali valori di $k \in \mathbb{R}$ la somma di e è diretta in $\mathbb{R}^4$ .

XI) Siano dati i seguenti sottospazi vettoriali di $\mathbb{R}^3$ :

$U_t=\mbox{Span}((1,t,0)) \ \ ; \ \ V_t=\mbox{Span}((2,0,t), \ (3,t-1,1))$

con parametro reale.

1) Determinare tutti i valori di per i quali la somma è un sottospazio proprio di $\mathbb{R}^3$ .

2) Verificato che è un sottospazio proprio di $\mathbb{R}^3$ , trovare un suo supplementare, ossia un sottospazio di $\mathbb{R}^3$ tale che

$(U_0+V_0) \oplus W = \mathbb{R}^3$

XII) Nello spazio vettoriale $Mat(2,2,\mathbb{R})$ delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali si determini un complemento diretto del sottospazio

$U=\left\{\begin{pmatrix} a+2b & 0 \\ c & c \end{pmatrix} \in Mat(2,2,\mathbb{R}) \ | \ a,b,c \in \mathbb{R}\right\}$

XIII) Nello spazio di polinomi $\mathbb{R}_3[x]$ si consideri il sottospazio

$H=\mbox{Span}(x+x^2, \ 1+x^3, \ 2+5x+5x^2+2x^3)$

Determinare la dimensione di e calcolare un sottospazio a esso supplementare in $\mathbb{R}_3[x]$ .

Svolgimenti e soluzioni

I) Verificare che la somma di due sottospazi è diretta

II) Quesito a risposta multipla sulla somma diretta

III) Calcolare il sottospazio somma e stabilire se la somma è diretta

IV) Complemento diretto di un sottospazio

V) Trovare un sottospazio che sia in somma diretta con un altro

VI) Scelta di due sottospazi distinti supplementari allo stesso sottospazio vettoriale

VII) Dimostrare che la somma è diretta e decomporre un vettore nella somma di altri due

VIII) Supplementare del sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo

IX) Sottospazio complementare non banale di un sottospazio generato

X) Per quali valori di un parametro la somma è diretta

XI) Sottospazio supplementare della somma di sottospazi parametrici

XII) Complemento diretto di un sottospazio di matrici

XIII) Sottospazio supplementare di un sottospazio generato da polinomi

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