Esercizi su somma diretta, sottospazi supplementare e complementare

State leggendo una scheda di esercizi risolti di tipo misto: da un lato, esercizi sulla somma diretta di sottospazi; dall'altro, esercizi sulla nozione di sottospazio supplementare e di sottospazio complementare. Tutte le tracce sono interamente svolte e corredate da svolgimenti dettagliati.

 

Con riferimento alla nozione di somma diretta di sottospazi vettoriali, gli esercizi prevedono principalmente di dimostrare che la somma tra due sottospazi è diretta. Riguardo ai concetti di sottospazio complementare e sottospazio supplementare, invece, le richieste sono di vario tipo e mirate a fornire una preparazione in vista dell'esame scritto.

 

Per la teoria, le definizioni, i metodi di risoluzione degli esercizi e alcuni esempi svolti vi rimandiamo alle lezioni dei rispettivi link.

 

Esercizi risolti su somma e intersezione di sottospazi vettoriali

 

I) Siano assegnati in \mathbb{R}^3 i sottospazi vettoriali:

 

\\ W_1=\{(x,0,0) \ | \ x \in \mathbb{R}\} \\ \\ W_2=\{(0,y,z) \ | \ y,z \in \mathbb{R}\}

 

Verificare che W_1, W_2 sono in somma diretta.

 

II) Siano X e Y i sottospazi di \mathbb{R}^3 così definiti:

 

X=<(1,1,2), \ (0,1,1)> \ \ \ ; \ \ \ Y=<(1,0,1)>.

 

Quale delle seguenti affermazioni è corretta? La somma dei due sottospazi è:

 

1) diretta;

 

2) non è diretta;

 

3) ha dimensione 1;

 

4) ha dimensione 3.

 

III) Siano dati i seguenti sottospazi di \mathbb{R}^4:

 

W_1=\mbox{Span}(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2) \ \ \ ; \ \ \ W_2=\mbox{Span}(\mathbf{u}_3, \mathbf{u}_4, \mathbf{u}_5)

 

dove:

 

\\ \mathbf{u}_1=(1,0,0,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{u}_2=(2,1,1,3) \\ \\ \mathbf{u}_3=(-2,3,3,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{u}_4=(1,2,-1,3) \\ \\ \mathbf{u}_5=(1,-1,-2,0).

 

Calcolare le dimensioni e una base dei sottospazi W_1, \ W_2, \ W_1+W_2 e stabilire se la somma è diretta.

 

IV) Individuare un complemento diretto del seguente sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4

 

S=\{(x,y,z,t)\in \mathbb{R}^4 \ | \ x-y+z=y+z-t=0\}

 

V) Sia U il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3 generato dai vettori

 

\mathbf{u}_1=(1,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{u}_2=(1,-1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{u}_3=(3,-2,1).

 

Trovare un sottospazio V tale che U \oplus V = \mathbb{R}^3.

 

VI) Sia S il sottospazio di \mathbb{R}^4 così definito:

 

S=\mbox{Span}((0,2,-1,0), \ (1,2,0,1), \ (1,0,0,0))

 

Determinare due sottospazi distinti T_1 e T_2 che siano supplementari a S.

 

VII) Dati i seguenti sottospazi di \mathbb{R}^3:

 

\\ U=\mbox{Span}((1,2,1),(1,1,0)) \\ \\ W=\mbox{Span}((1,0,0))

 

1. Calcolare la dimensione di U, di W e di U+W;

 

2. Dimostrare che U+W=\mathbb{R}^3 e che U\cap W=\{\mathbf{0}\}, così da concludere che \mathbb{R}^3 è somma diretta di U\ \mbox{e}\ W.

 

3. Decomporre il vettore \mathbf{v}=(1,2,0) nella somma di \mathbf{u}\ \mbox{e} \ \mathbf{w} con \mathbf{u}\in U e \mathbf{w}\in W

 

VIII) Sia H=\mbox{Sol}(S) il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 definito come lo spazio delle soluzioni del seguente sistema lineare omogeneo

 

S: \ \begin{cases}x_1+x_3-x_4=0 \\ 3x_1+x_2+3x_3-4x_4=0 \\ -2x_2-2x_4=0\end{cases}

 

1) Determinare la dimensione e una base di H.

 

2) Se K è un sottospazio supplementare di H, qual è la dimensione di K?

 

IX) Sia S il sottospazio di \mathbb{R}^4 generato dai vettori

 

\\ \mathbf{v}_1=(1,1,0,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,0,-1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(3,2,1,0)

 

Determinare un sottospazio non banale T che sia complementare di S in \mathbb{R}^4.

 

X) Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di \mathbb{R}^4:

 

S=\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x+2y+t=0, \ x-y-z+2t=0\} \\ \\ T=\mbox{Span}((3,k,1,-1), \ (1,0,k,k))

 

Stabilire per quali valori di k \in \mathbb{R} la somma di S e T è diretta in \mathbb{R}^4.

 

XI) Siano dati i seguenti sottospazi vettoriali di \mathbb{R}^3:

 

U_t=\mbox{Span}((1,t,0)) \ \ ; \ \ V_t=\mbox{Span}((2,0,t), \ (3,t-1,1))

 

con t parametro reale.

 

1) Determinare tutti i valori di t per i quali la somma U_t + V_t è un sottospazio proprio di \mathbb{R}^3.

 

2) Verificato che U_0+V_0 è un sottospazio proprio di \mathbb{R}^3, trovare un suo supplementare, ossia un sottospazio W di \mathbb{R}^3 tale che

 

(U_0+V_0) \oplus W = \mathbb{R}^3

 

XII) Nello spazio vettoriale Mat(2,2,\mathbb{R}) delle matrici quadrate di ordine due a elementi reali si determini un complemento diretto W del sottospazio

 

U=\left\{\begin{pmatrix} a+2b & 0 \\ c & c \end{pmatrix} \in Mat(2,2,\mathbb{R}) \ | \ a,b,c \in \mathbb{R}\right\}

 

XIII) Nello spazio di polinomi \mathbb{R}_3[x] si consideri il sottospazio

 

H=\mbox{Span}(x+x^2, \ 1+x^3, \ 2+5x+5x^2+2x^3)

 

Determinare la dimensione di H e calcolare un sottospazio a esso supplementare in \mathbb{R}_3[x].

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Verificare che la somma di due sottospazi è diretta 

 

II) Quesito a risposta multipla sulla somma diretta

 

III) Calcolare il sottospazio somma e stabilire se la somma è diretta

 

IV) Complemento diretto di un sottospazio

 

V) Trovare un sottospazio che sia in somma diretta con un altro

 

VI) Scelta di due sottospazi distinti supplementari allo stesso sottospazio vettoriale

 

VII) Dimostrare che la somma è diretta e decomporre un vettore nella somma di altri due

 

VIII) Supplementare del sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo

 

IX) Sottospazio complementare non banale di un sottospazio generato

 

X) Per quali valori di un parametro la somma è diretta

 

XI) Sottospazio supplementare della somma di sottospazi parametrici

 

XII) Complemento diretto di un sottospazio di matrici

 

XIII) Sottospazio supplementare di un sottospazio generato da polinomi

 

 

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